MODEL ATOMOWY DIRACA JORDAN: CHARAKTERYSTYKA I POSTULATY - FIZYCZNY

Model atomu Diraca, Jordan jest Relatywistyczna uogólnienie Hamiltona operatora równania opisującego funkcji fali kwantowej elektronu. W przeciwieństwie do poprzedniego modelu Schrodingera nie jest konieczne narzucanie spinu za pomocą zasady wykluczenia Pauliego, ponieważ pojawia się on naturalnie.

Ponadto model Diraca-Jordana obejmuje poprawki relatywistyczne, interakcję spin-orbitę oraz termin Darwina, który odpowiada za drobną strukturę poziomów elektronowych atomu.

Rysunek 1. Orbitale elektronowe w atomie wodoru dla pierwszych trzech poziomów energii. Źródło: Wikimedia Commons.

Począwszy od 1928 roku, naukowcy Paul AM Dirac (1902-1984) i Pascual Jordan (1902-1980) postanowili uogólnić mechanikę kwantową opracowaną przez Schrodingera, tak aby obejmowała specjalne poprawki względności Einsteina.

Dirac wychodzi od równania Schrodingera, które składa się z operatora różniczkowego, zwanego hamiltonianem, który działa na funkcji znanej jako funkcja fali elektronowej. Jednak Schrodinger nie wziął pod uwagę efektów relatywistycznych.

Rozwiązania funkcji falowej pozwalają obliczyć regiony, w których z pewnym prawdopodobieństwem elektron znajdzie się wokół jądra. Te regiony lub strefy nazywane są orbitali i zależą od pewnych dyskretnych liczb kwantowych, które określają energię i moment pędu elektronu.

Postulaty

W teoriach mechaniki kwantowej, relatywistycznych lub nie, nie ma pojęcia orbit, ponieważ nie można jednocześnie określić położenia ani prędkości elektronu. Ponadto określenie jednej ze zmiennych prowadzi do całkowitej nieprecyzyjności drugiej.

Ze swojej strony hamiltonian jest operatorem matematycznym, który działa na funkcję fali kwantowej i jest zbudowany z energii elektronu. Na przykład wolny elektron ma całkowitą energię E, która zależy od jego pędu liniowego p w następujący sposób:

E = ( p ² ) / 2m

Aby skonstruować hamiltonian, zaczynamy od tego wyrażenia i podstawiamy p dla operatora kwantowego dla pędu:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Należy zauważyć, że warunki p i p są różne, ponieważ pierwszy z nich to pęd, a drugi to operator różniczkowy powiązany z pędem.

Dodatkowo, i jest jednostką urojoną i ħ stałą Plancka podzieloną przez 2π, w ten sposób otrzymujemy hamiltonowski operator H swobodnego elektronu:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Aby znaleźć hamiltonian elektronu w atomie, dodaj oddziaływanie elektronu z jądrem:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

W poprzednim wyrażeniu -e jest ładunkiem elektrycznym elektronu, a Φ (r) potencjałem elektrostatycznym wytwarzanym przez jądro centralne.

Teraz operator H działa na funkcję falową ψ zgodnie z równaniem Schrodingera, które jest napisane w ten sposób:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Cztery postulaty Diraca

Postulat pierwszy : relatywistyczne równanie falowe ma taką samą strukturę jak równanie fali Schrodingera, zmienia się H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Drugi postulat : operator Hamiltona jest konstruowany na podstawie relacji energia-pęd Einsteina, która jest zapisana w następujący sposób:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

W poprzedniej relacji, jeśli cząstka ma p = 0, to mamy słynne równanie E = mc ^2, które wiąże energię w stanie spoczynku dowolnej cząstki o masie m z prędkością światła c.

Trzeci postulat : aby otrzymać operator Hamiltona, stosuje się tę samą regułę kwantyzacji, którą zastosowano w równaniu Schrodingera:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Na początku nie było jasne, jak poradzić sobie z tym operatorem różniczkowym działającym w ramach pierwiastka kwadratowego, więc Dirac postanowił uzyskać liniowy operator hamiltonianu na operatorze pędu i stąd powstał jego czwarty postulat.

Postulat czwarty : aby pozbyć się pierwiastka kwadratowego z relatywistycznej formuły energetycznej, Dirac zaproponował następującą strukturę dla E ² :

Oczywiście, aby było to prawdą, konieczne jest określenie współczynników alfa (α0, α1, α2, α3).

Równanie Diraca

W zwartej formie równanie Diraca jest uważane za jedno z najpiękniejszych równań matematycznych na świecie:

Rysunek 2. Równanie Diraca w zwartej formie. Źródło: F. Zapata.

I wtedy staje się jasne, że stałe alfy nie mogą być wielkościami skalarnymi. Jedynym sposobem spełnienia równości czwartego postulatu jest to, że są to stałe macierze 4 × 4, znane jako macierze Diraca:

Od razu zauważamy, że funkcja falowa przestaje być funkcją skalarną i staje się wektorem o czterech składowych zwanych spinorem:

Atom Diraca-Jordana

Aby otrzymać model atomowy, należy przejść od równania wolnego elektronu do równania elektronu w polu elektromagnetycznym wytwarzanym przez jądro atomu. Ta interakcja jest brana pod uwagę poprzez włączenie potencjału skalarnego Φ i potencjału wektora A w hamiltonianie:

Funkcja falowa (spinor), która wynika z włączenia tego hamiltonianu, ma następujące cechy:

- Spełnia szczególną teorię względności, ponieważ uwzględnia wewnętrzną energię elektronu (pierwszy wyraz relatywistycznego hamiltonianu)

- Ma cztery rozwiązania odpowiadające czterem składnikom spinora

- Pierwsze dwa rozwiązania odpowiadają jednemu spinowi + ½, a drugiemu spinowi - ½

- Wreszcie pozostałe dwa rozwiązania przewidują istnienie antymaterii, ponieważ odpowiadają one pozytonom o przeciwnych spinach.

Ogromną zaletą równania Diraca jest to, że poprawki do podstawowego hamiltonianu Schrodingera H (o) można podzielić na kilka terminów, które pokażemy poniżej:

W poprzednim wyrażeniu V jest potencjałem skalarnym, ponieważ potencjał wektora A wynosi zero, jeśli zakłada się, że centralny proton jest nieruchomy, a zatem nie pojawia się.

Powód, dla którego poprawki Diraca do rozwiązań Schrodingera w funkcji falowej są subtelne. Wynikają one z faktu, że ostatnie trzy wyrazy skorygowanego hamiltonianu są podzielone przez prędkość c światła do kwadratu, czyli ogromną liczbę, co sprawia, że te wyrazy są liczbowo małe.

Relatywistyczne poprawki widma energii

Korzystając z równania Diraca-Jordana znajdujemy poprawki do widma energii elektronu w atomie wodoru. Korekty energii w atomach z więcej niż jednym elektronem w przybliżonej postaci można również znaleźć za pomocą metodologii znanej jako teoria perturbacji.

Podobnie model Diraca pozwala nam znaleźć korektę struktury drobnej w poziomach energii wodoru.

Jednak jeszcze bardziej subtelne poprawki, takie jak struktura nadsubtelna i przesunięcie Lamb, uzyskuje się z bardziej zaawansowanych modeli, takich jak kwantowa teoria pola, która narodziła się właśnie dzięki wkładowi modelu Diraca.

Poniższy rysunek pokazuje, jak wyglądają relatywistyczne poprawki Diraca do poziomów energii:

Rysunek 3. Korekty modelu Diraca do poziomów atomu wodoru. Źródło: Wikimedia Commons.

Na przykład rozwiązania równania Diraca poprawnie przewidują obserwowane przesunięcie na poziomie 2s. Jest to dobrze znana poprawka struktury drobnoziarnistej na linii Lyman-alfa widma wodoru (patrz rysunek 3).

Nawiasem mówiąc, subtelna struktura to nazwa nadana w fizyce atomowej podwojeniu linii widma emisyjnego atomów, co jest bezpośrednią konsekwencją spinu elektronu.

Rysunek 4. Rozszczepienie struktury drobnoziarnistej dla stanu podstawowego n = 1 i pierwszego stanu wzbudzonego n = 2 w atomie wodoru. Źródło: R Wirnata. Relatywistyczne poprawki do atomów wodoru. Researchgate.net

Ciekawe artykuły

Model atomowy De Brogliego.

Model atomowy Chadwicka.

Model atomowy Heisenberga.

Model atomowy Perrina.

Model atomowy Thomsona.

Model atomowy Daltona.

Model atomowy Schrödingera.

Atomowy model Demokryta.

Model atomowy Bohra.

Bibliografia

Teoria atomowa. Odzyskany z wikipedia.org.
Elektronowy moment magnetyczny. Odzyskany z wikipedia.org.
Quanta: Podręcznik pojęć. (1974). Oxford University Press. Odzyskany z Wikipedia.org.
Model atomowy Diraca Jordana. Odzyskany z prezi.com.
Nowy wszechświat kwantowy. Cambridge University Press. Odzyskany z Wikipedia.org.

MODEL ATOMOWY DIRACA JORDAN: CHARAKTERYSTYKA I POSTULATY - FIZYCZNY - 2026