RUCH WAHADŁOWY: PROSTE WAHADŁO, PROSTA HARMONICZNA - FIZYCZNY - 2026

Wahadło jest obiektem (idealnie masa punkt) wisiał na włosku (najlepiej bez masy) ze stałym punkcie i że oscyluje dzięki sile grawitacji, że tajemnicza niewidzialna siła, która, między innymi, utrzymuje wszechświat przyklejony.

Ruch wahadłowy to taki, który zachodzi w obiekcie z jednej strony na drugą, zwisając z włókna, kabla lub nici. Siły, które interweniują w tym ruchu, to połączenie siły grawitacji (pionowej, w kierunku środka Ziemi) i naprężenia nici (kierunek nici).

Wahadło oscyluje, pokazując prędkość i przyspieszenie (wikipedia.org)

Tak właśnie robią zegary wahadłowe (stąd nazwa) czy huśtawki na placu zabaw. W idealnym wahadle ruch oscylacyjny trwałby nieprzerwanie. Z drugiej strony w prawdziwym wahadle ruch kończy się po pewnym czasie z powodu tarcia o powietrze.

Myślenie o wahadle sprawia, że ​​nieuniknione jest przywołanie obrazu zegara wahadłowego, wspomnienie tego starego i imponującego zegara z wiejskiego domu dziadków. A może horror Edgara Allana Poe, The Well and the Pendulum, którego narracja jest inspirowana jedną z wielu metod tortur stosowanych przez hiszpańską inkwizycję.

Prawda jest taka, że ​​różne typy wahadeł mają różne zastosowania poza pomiarem czasu, takie jak na przykład określanie przyspieszenia grawitacyjnego w określonym miejscu, a nawet demonstrowanie obrotu Ziemi, jak zrobił to francuski fizyk Jean Bernard Léon. Foucault.

Wahadło Foucaulta. Autor: Veit Froer (wikipedia.org).

Proste wahadło i prosty harmoniczny ruch wibracyjny

Proste wahadło

Proste wahadło, choć jest układem idealnym, pozwala na teoretyczne podejście do ruchu wahadła.

Chociaż równania ruchu prostego wahadła mogą być nieco skomplikowane, prawda jest taka, że ​​kiedy amplituda (A), czyli przemieszczenie od położenia równowagi, ruchu jest małe, można ją przybliżyć równaniami ruchu harmonicznego proste, które nie są zbyt skomplikowane.

Prosty harmonijmy ruch

Prosty ruch harmoniczny jest ruchem okresowym, to znaczy jest powtarzany w czasie. Ponadto jest to ruch oscylacyjny, którego oscylacja zachodzi wokół punktu równowagi, to znaczy punktu, w którym wynik netto sumy sił przyłożonych do ciała wynosi zero.

W ten sposób podstawową cechą ruchu wahadła jest jego okres (T), który określa czas potrzebny do wykonania pełnego cyklu (lub całkowitego oscylacji). Okres wahadła określa następujące wyrażenie:

gdzie l = długość wahadła; a g = wartość przyspieszenia spowodowanego grawitacją.

Wielkość związana z okresem to częstotliwość (f), która określa liczbę cykli, przez które wahadło przechodzi w ciągu jednej sekundy. W ten sposób częstotliwość można wyznaczyć z okresu za pomocą następującego wyrażenia:

Dynamika ruchu wahadłowego

Siły, które interweniują w ruchu, to ciężar, lub to samo, siła grawitacji (P) i naprężenie nici (T). To połączenie tych dwóch sił powoduje ruch.

Podczas gdy naprężenie jest zawsze skierowane w kierunku nici lub liny, która łączy masę z punktem stałym, a zatem nie jest konieczne jej rozkładanie; ciężar jest zawsze skierowany pionowo w kierunku środka masy Ziemi, dlatego konieczne jest rozłożenie go na składowe styczne i normalne lub radialne.

Styczny składnik ciężaru P _t = mg sin θ, podczas gdy normalny składnik ciężaru to P _N = mg cos θ. Ta sekunda jest kompensowana przez naprężenie nici; Styczny składnik ciężaru, który działa jak siła przywracająca, jest zatem ostatecznie odpowiedzialny za ruch.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Przemieszczenie prostego ruchu harmonicznego, a tym samym wahadła, określa następujące równanie:

x = A ω cos (ω t + θ ₀ )

gdzie ω = jest prędkością kątową obrotu; t = to czas; a θ ₀ = jest fazą początkową.

W ten sposób równanie to pozwala nam określić położenie wahadła w dowolnym momencie. W związku z tym interesujące jest podkreślenie pewnych zależności między niektórymi wielkościami prostego ruchu harmonicznego.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

Z drugiej strony wzór, który reguluje prędkość wahadła w funkcji czasu, otrzymujemy wyprowadzając przemieszczenie jako funkcję czasu, na przykład:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ ₀ )

Postępując w ten sam sposób, otrzymujemy wyrażenie przyspieszenia względem czasu:

a = dv / dt = - A ω ² cos (ω t + θ ₀ )

Maksymalna prędkość i przyspieszenie

Obserwując zarówno ekspresję prędkości, jak i przyspieszenia, można docenić kilka interesujących aspektów ruchu wahadła.

Prędkość przyjmuje swoją maksymalną wartość w położeniu równowagi, w którym to czasie przyspieszenie wynosi zero, ponieważ, jak wcześniej stwierdzono, w tym momencie siła wypadkowa wynosi zero.

Wręcz przeciwnie, na krańcach przemieszczenia występuje odwrotnie, tam przyspieszenie przyjmuje wartość maksymalną, a prędkość przyjmuje wartość zerową.

Z równań prędkości i przyspieszenia można łatwo wydedukować zarówno moduł maksymalnej prędkości, jak i moduł maksymalnego przyspieszenia. Wystarczy przyjąć maksymalną możliwą wartość zarówno dla sin (ω t + θ ₀ ), jak i cos (ω t + θ ₀ ), która w obu przypadkach wynosi 1.

│ v _max │ = A ω

│ a _max │ = A ω ²

Moment, w którym wahadło osiąga maksymalną prędkość, jest momentem przejścia przez punkt równowagi sił od tego czasu sin (ω t + θ ₀ ) = 1. Wręcz przeciwnie, maksymalne przyspieszenie jest osiągane na obu końcach ruchu od tego czasu cos (ω t + θ ₀ ) = 1

wniosek

Wahadło jest łatwym przedmiotem do zaprojektowania i najwyraźniej z prostym ruchem, chociaż prawda jest taka, że ​​w głębi jest znacznie bardziej złożona, niż się wydaje.

Jednak gdy początkowa amplituda jest mała, jej ruch można wyjaśnić równaniami, które nie są nadmiernie skomplikowane, ponieważ można go przybliżyć równaniami prostego harmonicznego ruchu wibracyjnego.

Różne rodzaje wahadeł, które istnieją, mają różne zastosowania zarówno w życiu codziennym, jak iw nauce.

Bibliografia

1. Van Baak, Tom (listopad 2013). „Nowe i cudowne równanie okresu wahadła”. Biuletyn nauk horologicznych. 2013 (5): 22–30.
2. Wahadło. (nd). W Wikipedii. Pobrane 7 marca 2018 r. Z en.wikipedia.org.
3. Wahadło (matematyka). (nd). W Wikipedii. Pobrane 7 marca 2018 r. Z en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826). Historia inkwizycji w Hiszpanii. Wersja skrócona i przetłumaczona przez George'a B. Whittakera. Oxford University. s. XX, przedmowa.
5. Poe, Edgar Allan (1842). Dół i wahadło. Booklassic. ISBN 9635271905.