LICZBY UROJONE: WŁAŚCIWOŚCI, ZASTOSOWANIA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

W urojone numery są te, które rozwiązuje równanie, w którym wiadomo, podniesiony do kwadratu jest równa rzeczywistej liczbie ujemnej. Jednostką urojoną jest i = √ (-1).

W równaniu: z ² = - a, z jest liczbą urojoną wyrażoną w następujący sposób:

z = √ (-a) = i√ (a)

Bycie dodatnią liczbą rzeczywistą. Jeśli a = 1, to z = i, gdzie i jest jednostką urojoną.

Rysunek 1. Płaszczyzna zespolona przedstawiająca niektóre liczby rzeczywiste, niektóre liczby urojone i niektóre liczby zespolone. Źródło: F. Zapata.

Ogólnie rzecz biorąc, czysta liczba urojona z jest zawsze wyrażana w postaci:

z = y⋅i

Gdzie y jest liczbą rzeczywistą, a i jest jednostką urojoną.

Tak jak liczby rzeczywiste są przedstawiane na prostej, zwanej linią rzeczywistą, w podobny sposób liczby urojone są przedstawiane na linii urojonej.

Wyimaginowana linia jest zawsze prostopadła (kształt 90 °) do linii rzeczywistej, a dwie linie definiują płaszczyznę kartezjańską zwaną płaszczyzną zespoloną.

Na rysunku 1 pokazano płaszczyznę zespoloną, a na niej przedstawiono niektóre liczby rzeczywiste, niektóre liczby urojone, a także niektóre liczby zespolone:

X ₁ , X ₂ , X ₃ to liczby rzeczywiste

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ to liczby urojone

Z ₂ i Z ₃ to liczby zespolone

Liczba O jest prawdziwym zerem i jest również zerem urojonym, więc punkt początkowy O jest zerem zespolonym wyrażonym przez:

0 + 0i

Nieruchomości

Zbiór liczb urojonych oznaczamy:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Możesz zdefiniować pewne operacje na tym zestawie liczbowym. Z tych operacji nie zawsze uzyskuje się liczbę urojoną, więc przyjrzyjmy się im bardziej szczegółowo:

Dodawaj i odejmuj wyimaginowane

Liczby urojone można dodawać i odejmować od siebie, uzyskując nową liczbę urojoną. Na przykład:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkt wyimaginowany

Kiedy powstaje iloczyn jednej liczby urojonej z drugą, wynikiem jest liczba rzeczywista. Wykonajmy następującą operację, aby to sprawdzić:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Jak widzimy, -6 jest liczbą rzeczywistą, chociaż otrzymano ją przez pomnożenie dwóch czystych liczb urojonych.

Iloczyn liczby rzeczywistej przez inny urojony

Jeśli liczba rzeczywista zostanie pomnożona przez i, wynikiem będzie liczba urojona, która odpowiada obrotowi o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

I to jest to, że i ² odpowiada dwóm kolejnym obrotom o 90 stopni, co jest równoważne pomnożeniu przez -1, czyli i ² = -1. Można to zobaczyć na poniższym schemacie:

Rysunek 2. Mnożenie przez jednostkę urojoną i odpowiada obrotom o 90º w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Źródło: wikimedia commons.

Na przykład:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Wzmocnienie wyobraźni

Możesz zdefiniować wzmocnienie liczby urojonej do wykładnika będącego liczbą całkowitą:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Ogólnie mamy, że i ⁿ = i ^ (n mod 4), gdzie mod jest pozostałą częścią podziału między n i 4.

Można również przeprowadzić wzmocnienie ujemnej liczby całkowitej:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Ogólnie rzecz biorąc, urojoną liczbą b⋅i podniesioną do potęgi n jest:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Oto kilka przykładów:

(5 w) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Suma liczby rzeczywistej i urojonej

Kiedy dodajesz liczbę rzeczywistą do urojonej, wynik nie jest ani rzeczywisty, ani urojony, jest to nowy typ liczby zwany liczbą zespoloną.

Na przykład, jeśli X = 3,5 i Y = 3,75i, wynikiem jest liczba zespolona:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 w

Zauważ, że w sumie części rzeczywistej i urojonej nie można pogrupować razem, więc liczba zespolona zawsze będzie miała część rzeczywistą i część urojoną.

Ta operacja rozszerza zbiór liczb rzeczywistych na najszerszy z liczb zespolonych.

Aplikacje

Nazwa liczb urojonych została zaproponowana przez francuskiego matematyka René Descartes (1596-1650) jako kpina lub nieporozumienie z propozycją tego samego włoskiego matematyka stulecia Raffaelle Bombelli.

Inni wielcy matematycy, tacy jak Euler i Leibniz, poparli Kartezjusza w tym sporze i nazwali liczby urojone liczbami amfibii, które były rozdarte między bytem a niczym.

Nazwa liczb urojonych pozostaje do dziś, ale ich istnienie i znaczenie są bardzo realne i namacalne, ponieważ pojawiają się one naturalnie w wielu dziedzinach fizyki, takich jak:

-Teoria względności.

-W elektromagnetyzmie.

-Mechanika kwantowa.

Ćwiczenia z liczbami urojonymi

- Ćwiczenie 1

Znajdź rozwiązania następującego równania:

z ² + 16 = 0

Rozwiązanie

z ² = -16

Biorąc pierwiastek kwadratowy z obu członków, mamy:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Innymi słowy, rozwiązania pierwotnego równania to:

z = + 4i oz = -4i.

- Ćwiczenie 2

Znajdź wynik podniesienia jednostki urojonej do potęgi 5 minus odjęcie jednostki urojonej podniesionej do potęgi -5.

Rozwiązanie

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Ćwiczenie 3

Znajdź wynik następującej operacji:

(3i) ³ + 9i

Rozwiązanie

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Ćwiczenie 4

Znajdź rozwiązania następującego równania kwadratowego:

(-2x) ² + 2 = 0

Rozwiązanie

Równanie jest uporządkowane w następujący sposób:

(-2x) ² = -2

Następnie brany jest pierwiastek kwadratowy z obu elementów

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Następnie rozwiązujemy x, aby ostatecznie otrzymać:

x = ± √2 / 2 w

Oznacza to, że istnieją dwa możliwe rozwiązania:

x = (√2 / 2) i

Lub ten inny:

x = - (√2 / 2) i

- Ćwiczenie 5

Znajdź wartość Z zdefiniowaną przez:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Rozwiązanie

Wiemy, że pierwiastek kwadratowy z ujemnej liczby rzeczywistej jest liczbą urojoną, na przykład √ (-9) jest równe √ (9) x √ (-1) = 3i.

Z drugiej strony √ (-4) jest równe √ (4) x √ (-1) = 2i.

Zatem oryginalne równanie można zastąpić:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Ćwiczenie 6

Znajdź wartość Z wynikającą z następującego podziału dwóch liczb zespolonych:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Rozwiązanie

Licznik wyrażenia można rozłożyć na czynniki przy użyciu następującej właściwości:

Więc:

Z = / (3 + i)

Wynikowe wyrażenie jest uproszczone poniżej, pozostawiając

Z = (3 - i)

Bibliografia

1. Earl, R. Liczby zespolone. Odzyskane z: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Urozmaicony. Edycje CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Wybór tematów matematycznych. Publikacje Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Liczba urojona. Odzyskane z: en.wikipedia.org