LICZBY PIERWSZE: CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

W liczbami pierwszymi , zwany również prime bezwzględne są te liczby naturalne, które są tylko podzielna przez siebie i 1. Ta kategoria numery jak 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i wiele plus.

Zamiast tego liczba złożona jest podzielna przez siebie, przez 1 i co najmniej jedną inną liczbę. Mamy na przykład liczbę 12, która jest podzielna przez 1, 2, 4, 6 i 12. Zgodnie z konwencją 1 nie znajduje się na liście liczb pierwszych ani na liście związków.

Rysunek 1. Niektóre liczby pierwsze. Źródło: Wikimedia Commons.

Znajomość liczb pierwszych sięga czasów starożytnych; starożytni Egipcjanie już ich używali i na pewno byli znani już dawno temu.

Liczby te są bardzo ważne, ponieważ każda liczba naturalna może być reprezentowana przez iloczyn liczb pierwszych, przy czym ta reprezentacja jest unikalna, z wyjątkiem kolejności czynników.

Fakt ten jest w pełni potwierdzony w twierdzeniu zwanym Fundamentalnym twierdzeniem arytmetyki, które stwierdza, że ​​liczby, które nie są liczbami pierwszymi, są koniecznie złożone z iloczynów liczb, które są.

Charakterystyka liczb pierwszych

Oto główne cechy liczb pierwszych:

-Są nieskończone, ponieważ bez względu na to, jak duża jest liczba pierwsza, zawsze możesz znaleźć większą.

-Jeśli liczba pierwsza p nie dzieli dokładnie innej liczby a, to mówi się, że p i a są względem siebie pierwsze. W takim przypadku jedynym wspólnym dzielnikiem, który oba mają, jest 1.

Nie jest konieczne, aby a był absolutną liczbą pierwszą. Na przykład 5 jest liczbą pierwszą i chociaż 12 nie jest, obie liczby są pierwsze względem siebie, ponieważ obie mają 1 jako wspólny dzielnik.

-Gdy liczba pierwsza p dzieli potęgę liczby n, dzieli ją również n. Rozważmy 100, czyli potęgę 10, a konkretnie 10 ² . Zdarza się, że 2 dzieli zarówno 100, jak i 10.

-Wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste z wyjątkiem 2, dlatego ostatnia cyfra to 1, 3, 7 lub 9. 5 nie jest uwzględniona, ponieważ nawet jeśli jest nieparzysta i pierwsza, nigdy nie jest ostatnią liczbą innej liczby pierwszej. W rzeczywistości wszystkie liczby kończące się na 5 są wielokrotnościami tej liczby i dlatego nie są liczbami pierwszymi.

-Jeśli p jest liczbą pierwszą i dzielnikiem iloczynu dwóch liczb ab, to p dzieli jedną z nich. Na przykład liczba pierwsza 3 dzieli iloczyn 9 x 11 = 99, ponieważ 3 jest dzielnikiem 9.

Jak sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą

Pierwotność to nazwa nadana jakości bycia pierwszorzędnym. Cóż, francuski matematyk Pierre de Fermat (1601-1665) znalazł sposób na zweryfikowanie prymatu liczby w tak zwanym małym twierdzeniu Fermata, które brzmi następująco:

„Biorąc pod uwagę pierwszą liczbę naturalną p i dowolną liczbę naturalną większą od 0, prawdą jest, że ^p - a jest wielokrotnością p, o ile p jest liczbą pierwszą”.

Możemy to potwierdzić za pomocą małych liczb, na przykład załóżmy, że p = 4, o którym już wiemy, że nie jest liczbą pierwszą i już = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Liczba 1290 nie jest dokładnie podzielna przez 4, dlatego 4 nie jest liczbą pierwszą.

Zróbmy teraz test z p = 5, czyli liczbą pierwszą i ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 jest podzielne przez 5, ponieważ każda liczba kończąca się na 0 lub 5 to. W rzeczywistości 7760/5 = 1554. Ponieważ małe twierdzenie Fermata jest prawdziwe, możemy zapewnić, że 5 jest liczbą pierwszą.

Dowód za pomocą twierdzenia jest skuteczny i bezpośredni przy małych liczbach, w których operacja jest łatwa do wykonania, ale co zrobić, jeśli zostaniemy poproszeni o ustalenie pierwotności dużej liczby?

W takim przypadku liczba jest sukcesywnie dzielona między wszystkie mniejsze liczby pierwsze, aż zostanie znaleziony dokładny podział lub iloraz będzie mniejszy niż dzielnik.

Jeśli jakikolwiek podział jest dokładny, oznacza to, że liczba jest złożona, a jeśli iloraz jest mniejszy niż dzielnik, oznacza to, że liczba jest pierwsza. Zastosujemy to w rozwiązanym ćwiczeniu 2.

Sposoby znajdowania liczby pierwszej

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych i nie ma jednej formuły, która by je określała. Jednak patrząc na niektóre liczby pierwsze, takie jak te:

3, 7, 31, 127 …

Zauważono, że mają one postać 2 ⁿ - 1, gdzie n = 2, 3, 5, 7, 9 … Upewniamy się, że:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Ale nie możemy zapewnić, że generalnie 2 ⁿ - 1 jest liczbą pierwszą, ponieważ istnieją pewne wartości n, dla których to nie działa, na przykład 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

A liczba 15 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ kończy się na 5. Jednak jedna z największych znanych liczb pierwszych, znaleziona przez obliczenia komputerowe, ma postać 2 ⁿ - 1 z:

n = 57,885,161

Wzór Mersenne'a zapewnia nas, że 2 ^p - 1 jest zawsze liczbą pierwszą, o ile p jest również liczbą pierwszą. Na przykład 31 jest liczbą pierwszą, więc jest pewne, że 2 ³¹ - 1 jest również liczbą pierwszą :

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Jednak wzór pozwala określić tylko niektóre liczby pierwsze, a nie wszystkie.

Wzór Eulera

Poniższy wielomian umożliwia znalezienie liczb pierwszych pod warunkiem, że n jest między 0 a 39:

P (n) = n ² + n + 41

W dalszej części w części z rozwiązanymi ćwiczeniami jest przykład jego użycia.

Sito Eratostenesa

Eratostenes był fizykiem i matematykiem ze starożytnej Grecji żyjącym w III wieku pne Opracował graficzną metodę znajdowania liczb pierwszych, którą możemy zastosować w praktyce za pomocą małych liczb, nazywa się to sitem Eratostenesa (sito jest jak sito).

-Liczby są umieszczane w tabeli takiej jak ta pokazana na animacji.

- Liczby parzyste są następnie przekreślane, z wyjątkiem 2, o których wiemy, że są liczbą pierwszą. Wszystkie inne są wielokrotnościami tego i dlatego nie są liczbą pierwszą.

- Wielokrotności 3, 5, 7 i 11 są również zaznaczone, wykluczając je wszystkie, ponieważ wiemy, że są pierwsze.

- Wielokrotności 4, 6, 8, 9 i 10 są już zaznaczone, ponieważ są złożone, a zatem wielokrotności niektórych ze wskazanych liczb pierwszych.

-W końcu liczby, które pozostają nieoznaczone, są liczbami pierwszymi.

Rysunek 2. Animacja sita Eratostenesa. Źródło: Wikimedia Commons.

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Używając wielomianu Eulera dla liczb pierwszych, znajdź 3 liczby większe niż 100.

Rozwiązanie

To jest wielomian zaproponowany przez Eulera do znalezienia liczb pierwszych, który działa dla wartości n między 0 a 39.

P (n) = n ² + n + 41

Metodą prób i błędów wybieramy wartość n, na przykład n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Ponieważ n = 8 daje liczbę pierwszą większą niż 100, obliczamy wielomian dla n = 9 i n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Ćwiczenie 2

Dowiedz się, czy poniższe liczby są liczbami pierwszymi:

a) 13

b) 191

Rozwiązanie

Trzynastka jest wystarczająco mała, aby użyć małego twierdzenia Fermata i pomocy kalkulatora.

Używamy a = 2, aby liczby nie były zbyt duże, chociaż można również użyć a = 3, 4 lub 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 jest podzielne przez 2, ponieważ jest parzyste, więc 13 jest liczbą pierwszą. Czytelnik może to potwierdzić, wykonując ten sam test z a = 3.

Rozwiązanie b

191 jest zbyt duże, aby udowodnić twierdzenie i zwykły kalkulator, ale możemy znaleźć podział między każdą liczbą pierwszą. Pomijamy dzielenie przez 2, ponieważ 191 nie jest parzyste i podział nie będzie dokładny lub iloraz będzie mniejszy niż 2.

Próbujemy podzielić przez 3:

191/3 = 63 666 …

I nie daje dokładności, ani iloraz nie jest mniejszy niż dzielnik (63 666… jest większy niż 3)

W ten sposób nadal próbujemy podzielić 191 między liczby pierwsze 5, 7, 11, 13 i nie osiągnięto ani dokładnego podziału, ani ilorazu mniejszego niż dzielnik. Dopóki nie zostanie podzielone przez 17:

191/17 = 11, 2352 …

Ponieważ nie jest to dokładne i 11,2352… jest mniejsze niż 17, liczba 191 jest liczbą pierwszą.

Bibliografia

1. Baldor, A. 1986. Arytmetyka. Kodeks wydań i dystrybucji.
2. Prieto, C. Liczby pierwsze. Odzyskany z: paginas.matem.unam.mx.
3. Własności liczb pierwszych. Odzyskany z: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Liczby pierwsze: jak je znaleźć za pomocą sita Eratostenesa. Odzyskany z: smartick.es.
5. Wikipedia. Liczba pierwsza. Odzyskane z: es.wikipedia.org.