LICZBY RZECZYWISTE: HISTORIA, PRZYKŁADY, WŁASNOŚCI, OPERACJE - MATEMATYKA - 2025

Te liczby rzeczywiste stanowić zbiór liczbowy, który zawiera naturalne numery, liczby całkowite, racjonalne i nieracjonalne. Są one oznaczone symbolem ℝ lub po prostu R, a ich zakres w nauce, inżynierii i ekonomii jest taki, że mówiąc o „liczbie”, prawie zakłada się, że jest to liczba rzeczywista.

Liczby rzeczywiste były używane od czasów starożytnych, chociaż nie nadano im tej nazwy. Od czasu, gdy Pitagoras rozwinął swoje słynne twierdzenie, pojawiły się liczby, których nie można otrzymać jako iloraz liczb naturalnych lub całkowitych.

Rysunek 1. Diagram Venna pokazujący, jak zbiór liczb rzeczywistych zawiera inne zbiory liczb. Źródło> Wikimedia Commons.

Przykładami liczb są √2, √3 i π. Liczby te nazywane są nieracjonalnymi, w przeciwieństwie do liczb wymiernych, które pochodzą z ilorazów liczb całkowitych. Konieczny był zatem zbiór liczbowy obejmujący obie klasy liczb.

Termin „liczba rzeczywista” został stworzony przez wielkiego matematyka René Descartesa (1596-1650), aby rozróżnić dwa rodzaje pierwiastków, które mogą powstać w wyniku rozwiązania równania wielomianowego.

Niektóre z tych pierwiastków mogą być nawet pierwiastkami liczb ujemnych, Kartezjusz nazwał je „liczbami urojonymi”, a te, które nie były, były liczbami rzeczywistymi.

Określenie to utrzymywało się w czasie, dając początek dwóm dużym zbiorom liczbowym: liczbom rzeczywistym i liczbom zespolonym, większym zbiorom zawierającym liczby rzeczywiste, urojone i częściowo rzeczywiste i częściowo urojone.

Ewolucja liczb rzeczywistych trwała do 1872 roku, kiedy matematyk Richard Dedekind (1831-1936) formalnie zdefiniował zbiór liczb rzeczywistych poprzez tak zwane cięcia Dedekinda. Synteza jego pracy została opublikowana w artykule, który ujrzał światło dzienne w tym samym roku.

Przykłady liczb rzeczywistych

Poniższa tabela przedstawia przykłady liczb rzeczywistych. Zbiór ten składa się z podzbiorów liczb naturalnych, liczb całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Dowolna liczba tych zbiorów jest sama w sobie liczbą rzeczywistą.

Dlatego 0, wartości ujemne, pozytywy, ułamki i ułamki dziesiętne to liczby rzeczywiste.

Rysunek 2. Przykłady liczb rzeczywistych to liczby naturalne, całkowite, wymierne, nieracjonalne i transcendentne. Źródło: F. Zapata.

Reprezentacja liczb rzeczywistych na linii rzeczywistej

Liczby rzeczywiste można przedstawić na rzeczywistej linii R , jak pokazano na rysunku. Nie jest konieczne, aby 0 było zawsze obecne, jednak wygodnie jest wiedzieć, że ujemne liczby rzeczywiste znajdują się po lewej stronie, a dodatnie po prawej. Dlatego jest doskonałym punktem odniesienia.

W wierszu rzeczywistym przyjmuje się skalę, w której znajdują się liczby całkowite:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Strzałka wskazuje, że linia rozciąga się w nieskończoność. Ale to nie wszystko, w każdym rozważanym przedziale zawsze znajdziemy też nieskończone liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste są przedstawiane w kolejności. Na początek istnieje kolejność liczb całkowitych, w której pozytywy są zawsze większe od 0, a negatywy mniejsze.

Ta kolejność jest utrzymywana w liczbach rzeczywistych. Jako przykład przedstawiono następujące nierówności:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Rysunek 3. - Prawdziwa linia. Źródło: Wikimedia Commons.

Własności liczb rzeczywistych

-Liczby rzeczywiste obejmują liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne i liczby niewymierne.

-Zmienna właściwość dodawania jest spełniona: kolejność dodatków nie zmienia sumy. Jeśli a i b są dwiema liczbami rzeczywistymi, zawsze jest prawdą, że:

a + b = b + a

-The 0 jest neutralnym elementem sumy: a + 0 = a

-Dla sumy właściwość asocjacyjna jest spełniona. Jeśli a, b i c są liczbami rzeczywistymi: (a + b) + c = a + (b + c).

- Przeciwieństwem liczby rzeczywistej jest -a.

-Odejmowanie definiuje się jako sumę przeciwieństw: a - b = a + (-b).

-Własność przemienna iloczynu jest spełniona: kolejność czynników nie zmienia iloczynu: ab = ba

-W produkcie jest również stosowana właściwość asocjacyjna: (ab) .c = a. (Bc)

- 1 jest neutralnym elementem mnożenia: a.1 = a

-Własność rozdzielcza mnożenia obowiązuje w odniesieniu do dodawania: a. (b + c) = ab + ac

-Podział o 0 nie jest zdefiniowany.

-Każda liczba rzeczywista a, z wyjątkiem 0, ma multiplikatywną odwrotność ^-1, tak że aa ^-1 = 1.

-Jeśli a jest liczbą rzeczywistą: a ⁰ = 1 i a ¹ = a.

-Wartość bezwzględna lub moduł liczby rzeczywistej to odległość między tą liczbą a 0.

Operacje na liczbach rzeczywistych

Za pomocą liczb rzeczywistych możesz wykonywać operacje, które są wykonywane na innych zestawach liczb, w tym dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, wzmocnienie, radykacja, logarytmy i inne.

Jak zawsze, dzielenie przez 0 nie jest zdefiniowane, podobnie jak logarytmy liczb ujemnych lub 0, chociaż prawdą jest, że log 1 = 0 i że logarytmy liczb od 0 do 1 są ujemne.

Aplikacje

Zastosowania liczb rzeczywistych w różnych sytuacjach są niezwykle zróżnicowane. Liczby rzeczywiste pojawiają się jako odpowiedzi na wiele problemów w naukach ścisłych, informatyce, inżynierii, ekonomii i naukach społecznych.

Wszystkie rodzaje wielkości i wielkości, takie jak odległości, czasy, siły, natężenie dźwięku, pieniądze i wiele innych, mają swój wyraz w liczbach rzeczywistych.

Transmisją sygnałów telefonicznych, obrazu i dźwięku wideo, temperatury klimatyzatora, grzejnika czy lodówki można sterować cyfrowo, co oznacza przekształcanie wielkości fizycznych w ciągi numeryczne.

To samo dzieje się w przypadku dokonywania transakcji bankowych przez Internet lub korzystania z komunikatorów internetowych. Prawdziwe liczby są wszędzie.

Ćwiczenie rozwiązane

Za pomocą ćwiczeń zobaczymy, jak te liczby działają w typowych sytuacjach, z którymi spotykamy się na co dzień.

Ćwiczenie 1

Poczta przyjmuje tylko przesyłki, których długość wraz z obwodem nie przekracza 108 cali. W związku z tym, aby wyświetlona przesyłka została zaakceptowana, należy spełnić, że:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Czy paczka o szerokości 6 cali, wysokości 8 cali i długości 5 stóp przejdzie przez nią?

b) A co z takim, który ma wymiary 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Jaka jest najwyższa dopuszczalna wysokość paczki, której podstawa jest kwadratowa i ma wymiary 9 x 9 cali ² ?

Odpowiedz

L = 5 stóp = 60 cali

x = 6 cali

y = 8 cali

Operacja do rozwiązania to:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) cali = 60 + 2 x 14 cali = 60 + 28 cali = 88 cali

Pakiet został przyjęty.

Odpowiedź b

Wymiary tej paczki są mniejsze niż paczki a), więc obie ją przebrną.

Odpowiedź c

W tym pakiecie:

x = L = 9 cali

Należy zauważyć, że:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2 lata ≤ 108

2 lata ≤ 81

i ≤ 40,5 cala

Bibliografia

1. Carena, M. 2019. Przeduniwersytecki podręcznik matematyczny. National University of the Litoral.
2. Diego, A. Liczby rzeczywiste i ich własności. Odzyskany z: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematyka 9th. Stopień. Edycje CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Wydanie. Cengage Learning.