KĄTY UZUPEŁNIAJĄCE: CZYM ONE SĄ, OBLICZENIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Dwa lub więcej kątów są dodatkowymi kątami, jeśli suma ich miar odpowiada miary kąta prostego. Miara kąta prostego, zwana także kątem płaszczyzny, w stopniach wynosi 180º, aw radianach - π.

Na przykład stwierdzamy, że trzy kąty wewnętrzne trójkąta są uzupełniające, ponieważ suma ich miar wynosi 180º. Trzy kąty pokazano na rysunku 1. Z powyższego wynika, że ​​α i β są uzupełniające, ponieważ sąsiadują ze sobą, a ich suma uzupełnia kąt prosty.

Rysunek 1: α i β są uzupełniające. α i γ są uzupełniające. Źródło: F. Zapata.

Również na tej samej figurze mamy kąty α i γ, które również się uzupełniają, ponieważ suma ich miar jest równa miary kąta płaskiego, czyli 180º. Nie można powiedzieć, że kąty β i γ są uzupełniające, ponieważ ponieważ oba kąty są rozwarte, ich miary są większe niż 90º, a zatem ich suma przekracza 180º.

Źródło: lifeder.com

Z drugiej strony można stwierdzić, że miara kąta β jest równa miary kąta γ, ponieważ jeśli β jest uzupełnieniem α, a γ - α, to β = γ = 135º.

Przykłady

W poniższych przykładach prosi się o znalezienie nieznanych kątów, oznaczonych znakami zapytania na rysunku 2. Obejmują one od najprostszych przykładów do nieco bardziej rozbudowanych, tak aby czytelnik był bardziej ostrożny.

Rysunek 2. Kilka opracowanych przykładów dodatkowych kątów. Źródło: F. Zapata.

Przykład A

Na rysunku mamy, że sąsiednie kąty α i 35º sumują się do kąta płaskiego. To znaczy α + 35º = 180º, a zatem prawdą jest, że: α = 180º- 35º = 145º.

Przykład B.

Ponieważ β uzupełnia się o kąt 50º, stąd wynika, że ​​β = 180º - 50º = 130º.

Przykład C

Z rysunku 2C można otrzymać następującą sumę: γ + 90º + 15º = 180º. Oznacza to, że γ uzupełnia się z kątem 105º = 90º + 15º. Wynika z tego, że:

γ = 180º - 105º = 75º

Przykład D

Ponieważ X jest dodatkowym względem 72º, wynika z tego, że X = 180º - 72º = 108º. Ponadto Y jest uzupełnieniem X, więc Y = 180º - 108º = 72º.

I wreszcie Z jest uzupełniające z 72º, więc Z = 180º - 72º = 108º.

Przykład E.

Kąty δ i 2δ są uzupełniające, dlatego δ + 2δ = 180º. Co oznacza, że ​​3δ = 180º, a to z kolei pozwala nam zapisać: δ = 180º / 3 = 60º.

Przykład F.

Jeśli nazwiemy kąt między 100º a 50º U, to U jest uzupełnieniem obu z nich, ponieważ obserwuje się, że ich suma dopełnia kąt płaski.

Z tego wynika natychmiast, że U = 150º. Ponieważ U jest przeciwne wierzchołkiem W, to W = U = 150º.

Ćwiczenia

Poniżej zaproponowano trzy ćwiczenia, w każdym z nich należy znaleźć wartość kątów A i B w stopniach, aby zostały spełnione zależności pokazane na rysunku 3. Do rozwiązania wszystkich używa się koncepcji kątów uzupełniających.

Rysunek 3. Rysunek do rozwiązania ćwiczeń I, II i III na kątach dodatkowych. Wszystkie kąty są podane w stopniach. Źródło: F. Zapata.

- Ćwiczenie I

Wyznacz wartości kątów A i B z części I) z rysunku 3.

Rozwiązanie

A i B są uzupełniające, z których mamy, że A + B = 180 stopni, to wyrażenie A i B jest podstawiane jako funkcja x, jak widać na obrazku:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Uzyskuje się równanie liniowe pierwszego rzędu. Aby go rozwiązać, terminy pogrupowano poniżej:

6 x + 60 = 180

Dzieląc obu członków przez 6 otrzymujemy:

x + 10 = 30

I wreszcie rozwiązując, wynika, że ​​x jest warte 20º.

Teraz musimy podłączyć wartość x, aby znaleźć żądane kąty. Stąd kąt A wynosi: A = 20 +15 = 35º.

A ze swej strony kąt B wynosi B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Ćwiczenie II

Znajdź wartości kątów A i B z części II) rysunku 3.

Rozwiązanie

Ponieważ A i B są kątami dodatkowymi, mamy A + B = 180 stopni. Podstawiając wyrażenie na A i B jako funkcję x podaną w części II) rysunku 3, otrzymujemy:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Ponownie otrzymujemy równanie pierwszego stopnia, dla którego warunki muszą być wygodnie pogrupowane:

6 x + 60 = 180

Dzieląc obu członków przez 6 otrzymujemy:

x + 10 = 30

Z tego wynika, że ​​x jest warte 20º.

Innymi słowy, kąt A = -2 * 20 + 90 = 50º. Podczas gdy kąt B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Ćwiczenie III

Wyznacz wartości kątów A i B z części III) z rysunku 3 (na zielono).

Rozwiązanie

Ponieważ A i B są kątami dodatkowymi, mamy A + B = 180 stopni. Musimy podstawić wyrażenie na A i B jako funkcję x podaną na rysunku 3, z której mamy:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Dzieląc obu członków przez 12, aby obliczyć wartość x, otrzymujemy:

x + 5 = 15

Wreszcie okazuje się, że x jest warte 10 stopni.

Teraz przechodzimy do podstawienia, aby znaleźć kąt A: A = 5 * 10 -20 = 30º. A dla kąta B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Kąty dodatkowe w dwóch równoległościach przeciętych sieczną

Rysunek 4. Kąty między dwoma równoległościami przeciętymi przez sieczną. Źródło: F. Zapata.

Dwie równoległe linie przecięte sieczną są powszechną konstrukcją geometryczną w niektórych problemach. Pomiędzy takimi liniami jest utworzonych 8 kątów, jak pokazano na rysunku 4.

Z tych 8 kątów niektóre pary kątów są uzupełniające, które wymieniliśmy poniżej:

1. Kąty zewnętrzne A i B oraz kąty zewnętrzne G i H.
2. Kąty wewnętrzne D i C oraz kąty wewnętrzne E i F
3. Kąty zewnętrzne A i G oraz kąty zewnętrzne B i H.
4. Kąty wewnętrzne D i E oraz wnętrza C i F

Dla kompletności kąty równe sobie są również nazywane:

1. Wewnętrzne zamienniki: D = F i C = E
2. Warianty zewnętrzne: A = H i B = G.
3. Odpowiednie: A = E i C = H.
4. Przeciwieństwa przy wierzchołku A = C i E = H
5. Odpowiednie: B = F i D = G.
6. Wierzchołki są przeciwieństwami B = D i F = G

- Ćwiczenie IV

Odnosząc się do rysunku 4, który pokazuje kąty między dwiema równoległymi liniami przeciętymi przez sieczny, określ wartość wszystkich kątów w radianach, wiedząc, że kąt A = π / 6 radianów.

Rozwiązanie

A i B są dodatkowymi kątami zewnętrznymi, więc B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Bibliografia

1. Baldor, JA 1973. Geometria płaszczyzny i przestrzeni. Kultura Ameryki Środkowej.
2. Prawa i wzory matematyczne. Systemy pomiaru kątów. Odzyskany z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Geometria płaszczyzny. Odzyskane z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Kąty dodatkowe. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Przenośnik. Odzyskany z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historia, części, działanie. Odzyskany z: lifeder.com