FALA SINUSOIDALNA: CHARAKTERYSTYKA, CZĘŚCI, OBLICZENIA, PRZYKŁADY - FIZYCZNY - 2026

Te fale sinusoidalne są wzory falowe, które można opisać matematycznie przez funkcje sinus i cosinus. Dokładnie opisują zdarzenia naturalne i zmienne w czasie sygnały, takie jak napięcia generowane przez elektrownie, a następnie używane w domach, przemyśle i na ulicach.

Elementy elektryczne, takie jak rezystory, kondensatory i indukcyjności, które są podłączone do sinusoidalnych wejść napięciowych, również wytwarzają odpowiedzi sinusoidalne. Matematyka użyta w jej opisie jest stosunkowo prosta i została gruntownie przestudiowana.

Rysunek 1. Fala sinusoidalna z niektórymi z jej głównych charakterystyk przestrzennych: amplituda, długość fali i faza. Źródło: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: Kraaiennest Oryginalnie utworzony jako cosinus, przez użytkownika: Pelegs, as File: Wave_new.svg dzieło pochodne: Dave3457

Matematyka fal sinusoidalnych lub sinusoidalnych, tak jak są one również znane, dotyczy funkcji sinus i cosinus.

Są to powtarzalne funkcje, co oznacza okresowość. Oba mają ten sam kształt, z wyjątkiem tego, że cosinus jest przesuwany w lewo względem sinusa o jedną czwartą cyklu. Można to zobaczyć na rysunku 2:

Rysunek 2. Funkcje sin x i cos x są przesunięte względem siebie. Źródło: F. Zapata.

Wtedy cos x = sin (x + π / 2). Za pomocą tych funkcji reprezentowana jest fala sinusoidalna. Aby to zrobić, omawiana wielkość jest umieszczana na osi pionowej, a czas na osi poziomej.

Powyższy wykres pokazuje również powtarzalną jakość tych funkcji: wzór powtarza się w sposób ciągły i regularny. Dzięki tym funkcjom można wyrazić sinusoidalne napięcia i prądy zmieniające się w czasie, umieszczając v lub i reprezentujące napięcie lub prąd na osi pionowej zamiast y, a na osi poziomej zamiast x, czas jest umieszczony.

Najbardziej ogólny sposób wyrażenia fali sinusoidalnej to:

Następnie zagłębimy się w znaczenie tego wyrażenia, definiując kilka podstawowych terminów w celu scharakteryzowania fali sinusoidalnej.

Części

Okres, amplituda, częstotliwość, cykl i faza to pojęcia stosowane do okresowych lub powtarzających się fal i są ważne, aby odpowiednio je scharakteryzować.

Kropka

Funkcja okresowa, taka jak wymienione, powtarzana w regularnych odstępach czasu, zawsze spełnia następującą właściwość:

Gdzie T jest wielkością zwaną okresem fali i jest to czas potrzebny na powtórzenie fazy fali. W jednostkach SI okres jest mierzony w sekundach.

Amplituda

Zgodnie z ogólnym wyrażeniem sinusoidy v (t) = v _m sin (ωt + φ), v _m to maksymalna wartość funkcji, która występuje, gdy sin (ωt + φ) = 1 (pamiętając, że największy wartość, która dopuszcza zarówno funkcję sinus, jak i cosinus to 1). Ta maksymalna wartość jest dokładnie amplitudą fali, znaną również jako amplituda szczytowa.

W przypadku napięcia będzie mierzone w woltach, a jeśli jest to prąd, w amperach. W pokazanej fali sinusoidalnej amplituda jest stała, ale w innych typach fal amplituda może się zmieniać.

Cykl

Jest częścią fali zawartej w okresie. Na powyższym rysunku okres wyznaczono na podstawie pomiaru dwóch kolejnych szczytów lub szczytów, ale można go zacząć mierzyć w innych punktach na fali, o ile są one ograniczone okresem.

Zwróć uwagę na poniższym rysunku, jak cykl pokonuje z jednego punktu do drugiego z tą samą wartością (wysokością) i tym samym nachyleniem (nachylenie).

Rysunek 3. W przypadku fali sinusoidalnej cykl zawsze obejmuje okres. Ważne jest, aby punkt początkowy i koniec znajdowały się na tej samej wysokości. Źródło: Boylestad. Wprowadzenie do analizy obwodów. Osoba.

Częstotliwość

Jest to liczba cykli, które występują w ciągu 1 sekundy i jest powiązana z argumentem funkcji sinus: ωt. Częstotliwość jest oznaczana jako f i jest mierzona w cyklach na sekundę lub hercach (Hz) w systemie międzynarodowym.

Częstotliwość jest odwrotnością okresu, dlatego:

Podczas gdy częstotliwość f jest związana z częstotliwością kątową ω (pulsacja) jako:

Częstotliwość kątowa jest wyrażana w radianach / sekundę w systemie międzynarodowym, ale radiany są bezwymiarowe, więc częstotliwość f i częstotliwość kątowa ω mają takie same wymiary. Zauważ, że iloczyn ωt daje w rezultacie radiany i należy go wziąć pod uwagę podczas korzystania z kalkulatora w celu uzyskania wartości sin ωt.

Faza

Odpowiada poziomemu przemieszczeniu, jakiego doświadcza fala, w odniesieniu do czasu przyjętego jako odniesienie.

Na poniższym rysunku fala zielona wyprzedza falę czerwoną o czas t _d . Dwie fale sinusoidalne są w fazie, gdy ich częstotliwość i faza są takie same. Jeśli faza jest inna, oznacza to, że są poza fazą. Fale na rysunku 2 są również poza fazą.

Rysunek 4. Fale sinusoidalne poza fazą. Źródło: Wikimedia commons. Nie podano autora do odczytu maszynowego. Założono Kanjo ~ commonswiki (na podstawie roszczeń dotyczących praw autorskich). .

Jeśli częstotliwość fal jest różna, będą one w fazie, gdy faza ωt + φ jest taka sama w obu falach w określonych momentach.

Generator fali sinusoidalnej

Istnieje wiele sposobów uzyskania sygnału sinusoidalnego. Zapewniają je domowe gniazdka elektryczne.

Organy ścigania Faradaya

Dość prostym sposobem uzyskania sygnału sinusoidalnego jest skorzystanie z prawa Faradaya. Oznacza to, że w zamkniętym obwodzie prądowym, na przykład pętli, umieszczonej w środku pola magnetycznego, indukowany prąd jest generowany, gdy strumień pola magnetycznego przez niego zmienia się w czasie. W konsekwencji generowane jest również indukowane napięcie lub indukowane emf.

Strumień pola magnetycznego zmienia się, jeśli pętla jest obracana ze stałą prędkością kątową w środku pola utworzonego między biegunami N i S magnesu pokazanego na rysunku.

Rysunek 5. Generator fal oparty na prawie indukcji Faradaya. Źródło: Źródło: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

Ograniczeniem tego urządzenia jest zależność uzyskanego napięcia od częstotliwości obrotów pętli, co zostanie bardziej szczegółowo przedstawione w przykładzie 1 w sekcji Przykłady poniżej.

Wien Oscillator

Innym sposobem uzyskania fali sinusoidalnej, tym razem z elektroniką, jest oscylator Wien, który wymaga wzmacniacza operacyjnego w połączeniu z rezystorami i kondensatorami. W ten sposób uzyskuje się fale sinusoidalne, których częstotliwość i amplitudę użytkownik może modyfikować zgodnie z jego wygodą, regulując za pomocą przełączników.

Na rysunku przedstawiono generator sygnału sinusoidalnego, za pomocą którego można również uzyskać inne przebiegi: m.in. trójkątne i kwadratowe.

Rysunek 6. Generator sygnału. Źródło: Źródło: Wikimedia Commons. Ocgreg w angielskiej Wikipedii.

Jak obliczyć fale sinusoidalne?

Do wykonywania obliczeń z udziałem fal sinusoidalnych używany jest kalkulator naukowy, który ma funkcje trygonometryczne sinus i cosinus, a także ich odwrotności. Te kalkulatory mają tryby obliczania kątów w stopniach lub w radianach i można je łatwo przekonwertować z jednej postaci na drugą. Współczynnik konwersji to:

W zależności od modelu kalkulatora, należy nawigować za pomocą klawisza MODE, aby znaleźć opcję DEGREE, która pozwala na pracę z funkcjami trygonometrycznymi w stopniach lub opcję RAD, aby bezpośrednio obliczyć kąty w radianach.

Na przykład sin 25º = 0,4226 z kalkulatorem ustawionym w trybie DEG. Zamiana 25º na radiany daje 0,4363 radiana, a sin 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

Oscyloskop

Oscyloskop to urządzenie, które umożliwia wyświetlanie na ekranie zarówno stałych, jak i przemiennych sygnałów napięciowych i prądowych. Posiada pokrętła do regulacji wielkości sygnału na siatce, jak pokazano na poniższym rysunku:

Rysunek 7. Sygnał sinusoidalny mierzony oscyloskopem. Źródło: Boylestad.

Dzięki obrazowi z oscyloskopu i znajomości regulacji czułości w obu osiach możliwe jest obliczenie parametrów fali, które zostały wcześniej opisane.

Na rysunku przedstawiono sinusoidalny sygnał napięciowy w funkcji czasu, w którym każdy podział na osi pionowej jest wart 50 miliwoltów, podczas gdy na osi poziomej każdy podział jest wart 10 mikrosekund.

Amplitudę od szczytu do szczytu można znaleźć, zliczając podziały, które fala obejmuje w pionie, za pomocą czerwonej strzałki:

Za pomocą czerwonej strzałki liczy się 5 działek, więc napięcie szczytowo-szczytowe wynosi:

Szczytowe napięcie V _p jest mierzone od osi poziomej i wynosi 125 mV.

Aby znaleźć okres, mierzy się cykl, na przykład ten ograniczony zieloną strzałką, który obejmuje 3,2 działki, a następnie okres wynosi:

Przykłady

Przykład 1

W przypadku generatora na rysunku 3 pokaż na podstawie prawa Faradaya, że ​​indukowane napięcie jest sinusoidalne. Załóżmy, że pętla składa się z N zwojów zamiast tylko jednego, wszystkie o tym samym polu A i obraca się ze stałą prędkością kątową ω w środku jednolitego pola magnetycznego B.

Rozwiązanie

Prawo Faradaya mówi, że indukowane emf ε to:

Gdzie Φ _B to strumień pola magnetycznego, który będzie zmienny, ponieważ zależy od tego, jak pętla jest wystawiona na pole w każdej chwili. Znak ujemny po prostu opisuje fakt, że ten emf sprzeciwia się przyczynie, która go wytwarza (prawo Lenza). Przepływ podczas jednego obrotu wynosi:

θ jest kątem, który wektor normalny do płaszczyzny pętli tworzy z polem B w miarę postępu obrotu (patrz rysunek), ten kąt naturalnie zmienia się jako:

Czyli: Φ _B = BAcos θ = BAcos ωt. Teraz musimy tylko wyprowadzić to wyrażenie w odniesieniu do czasu i dzięki temu otrzymamy indukowany emf:

Ponieważ pole B jest jednorodne, a powierzchnia pętli nie zmienia się, wychodzą one poza pochodną:

Pętla ma powierzchnię 0,100 m ² i obraca się z prędkością 60,0 obr / s, a jej oś obrotu jest prostopadła do jednorodnego pola magnetycznego 0,200 T. Wiedząc, że cewka ma 1000 zwojów, znajdź: a) Maksymalny generowany emf, b ) Orientacja cewki w stosunku do pola magnetycznego, gdy występuje maksymalne indukowane emf.

Rysunek 8. Pętla N zwojów obraca się w środku jednolitego pola magnetycznego i generuje sygnał sinusoidalny. Źródło: R. Serway, Physics for Science and Engineering. Tom 2. Nauka Cengage.

Rozwiązanie

a) Maksymalny emf to ε _max = ωNBA

Przed przystąpieniem do zmiany wartości należy przekazać do jednostek systemu międzynarodowego częstotliwość 60 obr / s. Wiadomo, że 1 obrót odpowiada jednemu obrotowi lub 2 p radianów:

60,0 obr / s = 120 p radianów / s

ε _max = 120p radianów x 1000 zwojów x 0,200 T x 0,100 m ² = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Gdy występuje ta wartość sin ωt = 1, zatem:

ωt = θ = 90º,

W tym przypadku płaszczyzna spirali jest równoległa do B , tak że wektor normalny do tej płaszczyzny tworzy z polem 90º. Dzieje się tak, gdy wektor zaznaczony na czarno na rysunku 8 jest prostopadły do ​​zielonego wektora reprezentującego pole magnetyczne.

Bibliografia

1. Boylestad, R. 2011. Wprowadzenie do analizy obwodów. 12. Wydanie. Osoba. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Elektromagnetyzm. Seria Physics for Science and Engineering. Tom 6. Pod redakcją D. Figueroa. Uniwersytet Simona Bolivara. 115 i 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Laboratorium fizyczne 2. Edytorial Equinoccio. 03-1 i 14-1.
4. Fale sinusoidalne. Odzyskane z: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 2. Nauka Cengage. 881-884