FALE JEDNOWYMIAROWE: WYRAŻENIA MATEMATYCZNE I PRZYKŁADY - FIZYCZNY - 2026

Jedno- fale wymiarowe są te, które rozchodzą się tylko w jednym kierunku, niezależnie od tego, czy występuje wibracja w tym samym kierunku rozchodzenia się, czy nie. Dobrym tego przykładem jest fala, która przechodzi przez naprężoną strunę, podobnie jak w gitarze.

W poprzecznej fali płaskiej cząsteczki wibrują w kierunku pionowym (wznoszą się i opadają, patrz czerwona strzałka na ryc. 1), ale jest to jednowymiarowe, ponieważ zaburzenie rozchodzi się tylko w jednym kierunku, zgodnie z żółtą strzałką.

Rysunek 1: Obraz przedstawia jednowymiarową falę. Zauważ, że grzbiety i doliny tworzą linie równoległe do siebie i prostopadłe do kierunku propagacji. Źródło: wykonane samodzielnie.

Fale jednowymiarowe pojawiają się dość często w życiu codziennym. W poniższej sekcji opisano niektóre ich przykłady, a także fale, które nie są jednowymiarowe, aby jasno określić różnice.

Przykłady fal jednowymiarowych i nie jednowymiarowych

Fale jednowymiarowe

Oto kilka przykładów fal jednowymiarowych, które można łatwo zaobserwować:

- Impuls dźwiękowy, który przechodzi przez prostą belkę, ponieważ jest to zaburzenie, które rozprzestrzenia się na całej długości paska.

- Fala, która przechodzi przez kanał wodny, nawet jeśli przemieszczenie powierzchni wody nie jest równoległe do kanału.

- Fale, które rozchodzą się na powierzchni lub w przestrzeni trójwymiarowej, mogą być również jednowymiarowe, o ile ich czoła są płaszczyznami równoległymi do siebie i poruszają się tylko w jednym kierunku.

Fale nie jednowymiarowe

Przykład fali niejednowymiarowej można znaleźć w falach, które tworzą się na nieruchomej powierzchni wody po upuszczeniu kamienia. Jest to dwuwymiarowa fala z cylindrycznym frontem.

Rysunek 2. Obraz przedstawia przykład tego, czym NIE JEST fala jednowymiarowa. Zauważ, że grzbiety i doliny tworzą koła, a kierunek propagacji jest promieniowy na zewnątrz, wtedy jest to okrągła dwuwymiarowa fala. Źródło: Pixabay.

Innym przykładem niejednowymiarowej fali jest fala dźwiękowa, którą wytwarza petarda, eksplodując na określonej wysokości. Jest to trójwymiarowa fala z kulistymi frontami.

Matematyczne wyrażenie fali jednowymiarowej

Najbardziej ogólnym sposobem wyrażenia fali jednowymiarowej, która rozchodzi się bez tłumienia w dodatnim kierunku osi xy z prędkością v, jest matematycznie:

W tym wyrażeniu y reprezentuje zakłócenie w pozycji x w czasie t. Kształt fali nadaje funkcja f. Na przykład funkcja falowa pokazana na rysunku 1 to: y (x, t) = cos (x - vt), a obraz fali odpowiada chwili t = 0.

Taka fala, opisana funkcją cosinus lub sinus, nazywana jest falą harmoniczną. Chociaż nie jest to jedyny istniejący przebieg, ma on ogromne znaczenie, ponieważ każda inna fala może być reprezentowana jako superpozycja lub suma fal harmonicznych. Jest to dobrze znane twierdzenie Fouriera, tak szeroko stosowane do opisywania wszelkiego rodzaju sygnałów.

Kiedy fala porusza się w kierunku ujemnym osi x, po prostu zmień v na -v w argumencie, pozostawiając:

Rysunek 3 przedstawia animację fali przemieszczającej się w lewo: jest to forma zwana funkcją Lorentza, a jej matematyczne wyrażenie to:

W tym przykładzie prędkość propagacji wynosi v = 1, -jedna jednostka przestrzeni dla każdej jednostki czasu-.

Rysunek 3. Przykład fali Lorentza poruszającej się w lewo z prędkością v = 1. Źródło: opracował F. Zapata we współpracy z firmą Geogebra.

Jednowymiarowe równanie falowe

Równanie falowe jest równaniem pochodnym cząstkowym, którego rozwiązaniem jest oczywiście fala. Ustala matematyczny związek między częścią przestrzenną a jej częścią czasową i ma postać:

Przykład praktyczny

Poniżej przedstawiono ogólne wyrażenie y (x, t) dla fali harmonicznej:

a) Opisz fizyczne znaczenie parametrów A, k, ω i θo.

b) Jakie znaczenie mają znaki ± w argumencie cosinus?

c) Sprawdź, czy podane wyrażenie jest rzeczywiście rozwiązaniem równania falowego z poprzedniej sekcji i znajdź prędkość v propagacji.

Rozwiązanie)

Charakterystykę fali można znaleźć w następujących parametrach:

Druga pochodna względem t: ∂ ² i / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Te wyniki są podstawiane do równania falowego:

Zarówno A, jak i cosinus są uproszczone, ponieważ pojawiają się po obu stronach równości, a argument cosinusa jest taki sam, dlatego wyrażenie sprowadza się do:

Co pozwala na otrzymanie równania na v pod względem ω i k:

Bibliografia

1. E-edukacyjne. Równanie jednowymiarowych fal harmonicznych. Odzyskany z: e-ducativa.catedu.es
2. Zakątek Fizyki. Zajęcia Wave. Odzyskany z: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Fale i fizyka kwantowa. Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Pod redakcją Douglasa Figueroa. Uniwersytet Simona Bolivara. Caracas, Wenezuela.
4. Laboratorium Fizyki Ruch falowy. Odzyskany z: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Wykład 21: Jednowymiarowe równanie falowe: rozwiązanie D'Alemberta. Odzyskany z: ubc.ca.
6. Równanie falowe. Odzyskany z: en.wikipedia.com