SZEŚCIOKĄTNA PIRAMIDA: DEFINICJA, CHARAKTERYSTYKA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Sześciokątny piramidy jest wielościanu utworzony przez sześciokąt, który jest podstawą i sześć trójkątów, które biorą początek w wierzchołkach sześciokąta i spotykają się w miejscu na zewnątrz płaszczyzny, która zawiera podstawę. Ten punkt współbieżności jest znany jako wierzchołek lub wierzchołek piramidy.

Wielościan to zamknięta trójwymiarowa bryła geometryczna, której twarze są figurami płaskimi. Sześciokąt to zamknięta płaska figura (wielokąt) złożona z sześciu boków. Jeśli wszystkie sześć boków ma tę samą długość i tworzą równe kąty, mówi się, że jest regularny; w przeciwnym razie jest nieregularny.

Definicja

Sześciokątna piramida zawiera siedem ścian, podstawę i sześć bocznych trójkątów, z których podstawa jest jedyną, która nie dotyka wierzchołka.

Mówi się, że piramida jest prosta, jeśli wszystkie trójkąty boczne są równoramienne. W tym przypadku wysokość piramidy to odcinek biegnący od wierzchołka do środka sześciokąta.

Ogólnie wysokość piramidy to odległość między wierzchołkiem a płaszczyzną podstawy. Mówi się, że piramida jest ukośna, jeśli nie wszystkie boczne trójkąty są równoramienne.

Jeśli sześciokąt jest regularny, a piramida jest również prosta, mówi się, że jest regularną sześciokątną piramidą. Podobnie, jeśli sześciokąt jest nieregularny lub piramida jest ukośna, mówi się, że jest to nieregularna sześciokątna piramida.

cechy

Wklęsłe lub wypukłe

Wielokąt jest wypukły, jeśli miara wszystkich kątów wewnętrznych jest mniejsza niż 180 stopni. Z geometrycznego punktu widzenia jest to równoważne stwierdzeniu, że biorąc pod uwagę parę punktów w wielokącie, łączący je odcinek linii jest zawarty w wielokącie. W przeciwnym razie mówi się, że wielokąt jest wklęsły.

Jeśli sześciokąt jest wypukły, mówi się, że piramida jest wypukłą sześciokątną piramidą. W przeciwnym razie będzie to wklęsła sześciokątna piramida.

Krawędzie

Krawędzie piramidy to boki sześciu trójkątów, które ją tworzą.

Apothem

Apothem piramidy to odległość między wierzchołkiem a bokami podstawy piramidy. Ta definicja ma sens tylko wtedy, gdy piramida jest regularna, ponieważ jeśli jest nieregularna, odległość ta zmienia się w zależności od rozpatrywanego trójkąta.

Natomiast w regularnych piramidach apotema będzie odpowiadać wysokości każdego trójkąta (ponieważ każdy jest równoramienny) i będzie taka sama we wszystkich trójkątach.

Apothem podstawy to odległość między jednym z boków podstawy a jej środkiem. Ze sposobu, w jaki jest zdefiniowany, apothem podstawy ma sens tylko w zwykłych piramidach.

Denotacje

Wysokość sześciokątnej piramidy będzie oznaczona przez h , apotem podstawy (w zwykłym przypadku) przez APb, a apothem piramidy (również w zwykłym przypadku) przez AP .

Cechą charakterystyczną regularnych sześciokątnych piramid jest to, że h , APb i AP tworzą trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną AP i odnogami h i APb . Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Powyższy obrazek przedstawia zwykłą piramidę.

Jak obliczyć powierzchnię? Formuły

Rozważ regularną sześciokątną piramidę. Niech A będzie miarą każdego boku sześciokąta. Następnie A odpowiada miary podstawy każdego trójkąta piramidy, a zatem krawędziom podstawy.

Pole powierzchni wielokąta to iloczyn obwodu (suma boków) i apotemu podstawy podzielonego przez dwa. W przypadku sześciokąta byłoby to 3 * A * APb.

Można zauważyć, że pole powierzchni regularnej sześciokątnej piramidy jest równe sześciokrotności powierzchni każdego trójkąta piramidy plus pole podstawy. Jak wspomniano wcześniej, wysokość każdego trójkąta odpowiada apothemowi piramidy AP.

Dlatego pole każdego trójkąta w piramidzie jest określone przez A * AP / 2. Zatem obszar regularnej sześciokątnej piramidy wynosi 3 * A * (APb + AP), gdzie A jest krawędzią podstawy, APb jest apotemem podstawy, a AP apotemem piramidy.

Obliczenia w nieregularnych sześciokątnych piramidach

W przypadku nieregularnej sześciokątnej piramidy nie ma bezpośredniego wzoru na obliczenie pola powierzchni jak w poprzednim przypadku. Dzieje się tak, ponieważ każdy trójkąt w piramidzie będzie miał inny obszar.

W takim przypadku pole każdego trójkąta należy obliczyć osobno, a obszar podstawy. Wtedy powierzchnia piramidy będzie sumą wszystkich powierzchni obliczonych wcześniej.

Jak obliczyć objętość? Formuły

Objętość piramidy o regularnym sześciokątnym kształcie jest iloczynem wysokości piramidy i powierzchni podstawy podzielonej przez trzy. Zatem objętość regularnej sześciokątnej piramidy jest określona wzorem A * APb * h, gdzie A jest krawędzią podstawy, APb jest apotemem podstawy, a h jest wysokością piramidy.

Obliczenia w nieregularnych sześciokątnych piramidach

Analogicznie do pola powierzchni, w przypadku nieregularnej sześciokątnej piramidy nie ma bezpośredniego wzoru na obliczenie objętości, ponieważ krawędzie podstawy nie mają takiego samego wymiaru, ponieważ jest to nieregularny wielokąt.

W takim przypadku powierzchnię podstawy należy obliczyć osobno, a objętość wyniesie (h * Powierzchnia podstawy) / 3.

Przykład

Znajdź obszar i objętość regularnej sześciokątnej piramidy o wysokości 3 cm, której podstawą jest regularny sześciokąt o długości 2 cm z każdej strony, a apotema podstawy wynosi 4 cm.

Rozwiązanie

Najpierw należy obliczyć apothem piramidy (AP), który jest jedynymi brakującymi danymi. Patrząc na powyższy obraz, można zauważyć, że wysokość piramidy (3 cm) i apotema podstawy (4 cm) tworzą trójkąt prostokątny; Dlatego do obliczenia apotemu piramidy stosuje się twierdzenie Pitagorasa:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Zatem z powyższego wzoru wynika, że ​​pole to jest równe 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

Z drugiej strony, korzystając ze wzoru na objętość, otrzymujemy, że objętość danej piramidy wynosi 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Bibliografia

1. Billstein, R., Libeskind, S. i Lott, JW (2013). Matematyka: podejście do rozwiązywania problemów dla nauczycieli szkół podstawowych. López Mateos Redaktorzy.
2. Fregoso, RS i Carrera, SA (2005). Matematyka 3. Od redakcji Progreso.
3. Gallardo, G. i Pilar, PM (2005). Matematyka 6. Od redakcji Progreso.
4. Gutiérrez, CT i Cisneros, MP (2005). III Kurs Matematyki. Redakcja Progreso.
5. Kinsey, L. i Moore, TE (2006). Symmetry, Shape and Space: An Introduction to Mathematics Through Geometry (ilustrowane, przedrukowane). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Olśniewające projekty linii matematycznych (wyd. Ilustrowane). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Rysuję 6. Redakcja Progreso.