WIELOKĄT WYPUKŁY: DEFINICJA, ELEMENTY, WŁAŚCIWOŚCI, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Wypukłego wielokąta geometryczna postać się w płaszczyźnie, która jest znamienna tym, ponieważ posiada przekątnych w jego wnętrzu i jego kąt środka mniej niż 180 °. Wśród jego właściwości są:

1) Składa się z n kolejnych segmentów, w których ostatni z segmentów łączy się z pierwszym. 2) Żaden z segmentów nie przecina się w sposób ograniczający płaszczyznę w obszarze wewnętrznym i zewnętrznym. 3) Każdy kąt w obszarze wewnętrznym jest mniejszy niż kąt płaski.

Rysunek 1. Wielokąty 1, 2 i 6 są wypukłe. (Przygotowane przez Ricardo Péreza).

Prostym sposobem określenia, czy wielokąt jest wypukły, czy nie, jest uwzględnienie linii przechodzącej przez jeden z jego boków, która wyznacza dwie półpłaszczyzny. Jeśli w każdej linii przechodzącej przez jedną stronę pozostałe boki wielokąta znajdują się w tej samej półpłaszczyźnie, to jest to wielokąt wypukły.

Elementy wielokąta

Każdy wielokąt składa się z następujących elementów:

- Boki

- Wierzchołki

Boki to każdy z kolejnych segmentów tworzących wielokąt. W wielokącie żaden z tworzących go segmentów nie może mieć otwartego końca, w takim przypadku byłaby linia wielokątna, ale nie wielokąt.

Wierzchołki to punkty styku dwóch kolejnych segmentów. W wielokącie liczba wierzchołków jest zawsze równa liczbie boków.

Jeśli dwa boki lub segmenty wielokąta przecinają się, masz skrzyżowany wielokąt. Punkt przecięcia nie jest uważany za wierzchołek. Wielokąt krzyżowy to wielokąt niewypukły. Wielokąty gwiazdowe są wielokątami krzyżowymi i dlatego nie są wypukłe.

Gdy wielokąt ma wszystkie boki tej samej długości, mamy wielokąt regularny. Wszystkie regularne wielokąty są wypukłe.

Wielokąty wypukłe i niewypukłe

Rysunek 1 przedstawia kilka wielokątów, niektóre z nich są wypukłe, a inne nie. Przeanalizujmy je:

Liczba 1 to trójboczny wielokąt (trójkąt), a wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze niż 180º, dlatego jest to wielokąt wypukły. Wszystkie trójkąty są wypukłymi wielokątami.

Liczba 2 to czteroboczny wielokąt (czworobok), w którym żaden z boków się nie przecina, a każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy niż 180º. Jest to zatem wypukły wielokąt o czterech bokach (wypukły czworobok).

Z drugiej strony, liczba 3 jest wielokątem o czterech bokach, ale jeden z jego wewnętrznych kątów jest większy niż 180º, więc nie spełnia warunku wypukłości. Oznacza to, że jest to niewypukły czterostronny wielokąt zwany wklęsłym czworobokiem.

Liczba 4 to wielokąt z czterema segmentami (bokami), z których dwa przecinają się. Cztery wewnętrzne kąty są mniejsze niż 180º, ale ponieważ przecinają się dwa boki, jest to nie wypukły, skrzyżowany wielokąt (skrzyżowany czworobok).

Innym przypadkiem jest liczba 5. Jest to wielokąt o pięciu bokach, ale ponieważ jeden z jego wewnętrznych kątów jest większy niż 180º, mamy wówczas wielokąt wklęsły.

Wreszcie liczba 6, która również ma pięć boków, ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze niż 180º, jest więc wielokątem wypukłym o pięciu bokach (wypukły pięciokąt).

Właściwości wielokąta wypukłego

1- Nieskrzyżowany wielokąt lub prosty wielokąt dzieli płaszczyznę, która go zawiera, na dwa obszary. Region wewnętrzny i region zewnętrzny, przy czym wielokąt stanowi granicę między dwoma regionami.

Ale jeśli wielokąt jest dodatkowo wypukły, wówczas mamy obszar wewnętrzny, który jest po prostu połączony, co oznacza, że ​​biorąc dowolne dwa punkty z obszaru wewnętrznego, zawsze można go połączyć odcinkiem, który należy całkowicie do obszaru wewnętrznego.

Rysunek 2. Wypukły wielokąt jest po prostu połączony, a wklęsły nie. (Przygotowane przez Ricardo Péreza).

2- Każdy kąt wewnętrzny wypukłego wielokąta jest mniejszy niż kąt płaski (180º).

3- Wszystkie wewnętrzne punkty wypukłego wielokąta zawsze należą do jednej z półpłaszczyzn wyznaczonych przez linię przechodzącą przez dwa kolejne wierzchołki.

4- W wypukłym wielokącie wszystkie przekątne są całkowicie zawarte w wewnętrznym obszarze wielokąta.

5- Wewnętrzne punkty wypukłego wielokąta należą w całości do wypukłego sektora kątowego określonego przez każdy kąt wewnętrzny.

6- Każdy wielokąt, w którym wszystkie jego wierzchołki znajdują się na obwodzie, jest wielokątem wypukłym, który nazywamy wielokątem cyklicznym.

7- Każdy wielokąt cykliczny jest wypukły, ale nie każdy wielokąt wypukły jest cykliczny.

8- Każdy nieskrzyżowany wielokąt (prosty wielokąt), który ma wszystkie boki jednakowej długości, jest wypukły i nazywany jest wielokątem regularnym.

Przekątne i kąty w wypukłych wielokątach

9- Całkowita liczba N przekątnych wypukłego wielokąta o n bokach jest określona następującym wzorem:

N = ½ n (n - 3)

Dowód: w wypukłym wielokącie z n bokami każdego wierzchołka rysuje się n - 3 przekątne, ponieważ sam wierzchołek i dwa sąsiednie są wykluczone. Ponieważ jest n wierzchołków, narysowanych jest łącznie n (n - 2) przekątnych, ale każda przekątna została narysowana dwukrotnie, więc liczba przekątnych (bez powtórzeń) wynosi n (n-2) / 2.

10- Suma S kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego o n bokach jest określona zależnością:

S = (n - 2) 180º

Przykłady

Przykład 1

Sześciokąt cykliczny to wielokąt o sześciu bokach i sześciu wierzchołkach, ale wszystkie wierzchołki mają ten sam obwód. Każdy cykliczny wielokąt jest wypukły.

Cykliczny sześciokąt.

Przykład 2

Określ wartość kątów wewnętrznych zwykłego enegonu.

Rozwiązanie: Enegon jest wielokątem 9-stronnym, ale jeśli jest również regularny, wszystkie jego boki i kąty są równe.

Suma wszystkich kątów wewnętrznych dziewięciobocznego wielokąta wynosi:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Ale istnieje 9 kątów wewnętrznych o równej mierze α, więc musi zostać spełniona następująca równość:

S = 9 α = 1260º

Z czego wynika, że ​​miarą α każdego kąta wewnętrznego regularnego enegonu jest:

α = 1260º / 9 = 140º