ZASADA ADDYTYWNOŚCI: Z CZEGO SIĘ SKŁADA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Zasada addytywności jest techniką liczenia prawdopodobieństwa, która pozwala nam zmierzyć, na ile sposobów można wykonać czynność, która z kolei ma kilka alternatyw do wykonania, z których można wybrać tylko jedną naraz. Klasycznym przykładem tego jest sytuacja, gdy chcesz wybrać linię transportową, aby przejść z jednego miejsca do drugiego.

W tym przykładzie alternatywy będą odpowiadać wszystkim możliwym liniom transportowym, które obejmują żądaną trasę - powietrzną, morską lub lądową. Nie możemy jechać w miejsce dwoma środkami transportu jednocześnie; musimy wybrać tylko jeden.

Zasada addytywności mówi nam, że liczba dróg, które musimy wykonać, będzie odpowiadać sumie każdego możliwego alternatywnego (środka transportu), który istnieje, aby udać się w żądane miejsce, w tym nawet środki transportu, które gdzieś się zatrzymują (lub miejsca) pomiędzy.

Oczywiście w poprzednim przykładzie zawsze wybieramy najwygodniejszą alternatywę, która najlepiej pasuje do naszych możliwości, ale z punktu widzenia prawdopodobieństwa bardzo ważne jest, aby wiedzieć, na ile sposobów można przeprowadzić wydarzenie.

Prawdopodobieństwo

Ogólnie rzecz biorąc, prawdopodobieństwo to dziedzina matematyki odpowiedzialna za badanie zdarzeń lub zjawisk oraz losowych eksperymentów.

Eksperyment lub zjawisko losowe to działanie, które nie zawsze daje takie same wyniki, nawet jeśli jest wykonywane w takich samych warunkach początkowych, bez zmiany czegokolwiek w początkowej procedurze.

Klasycznym i prostym przykładem pozwalającym zrozumieć, na czym polega losowy eksperyment, jest rzucanie monetą lub kostką. Akcja zawsze będzie taka sama, ale nie zawsze dostaniemy na przykład „orła” lub „szóstkę”.

Prawdopodobieństwo jest odpowiedzialne za zapewnienie technik określania, jak często dane zdarzenie losowe może wystąpić; oprócz innych zamiarów, głównym jest przewidywanie ewentualnych przyszłych wydarzeń, które są niepewne.

Prawdopodobieństwo zdarzenia

W szczególności prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest liczbą rzeczywistą od zera do jedynki; to znaczy liczba należąca do przedziału. Jest oznaczony przez P (A).

Jeśli P (A) = 1, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wynosi 100%, a jeśli jest równe zero, nie ma szans, aby miało ono miejsce. Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników, które można uzyskać przeprowadzając losowy eksperyment.

Istnieją co najmniej cztery typy lub pojęcia prawdopodobieństwa, w zależności od przypadku: prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo częste, prawdopodobieństwo subiektywne i prawdopodobieństwo aksjomatyczne. Każdy skupia się na innych sprawach.

Prawdopodobieństwo klasyczne obejmuje przypadek, w którym przestrzeń próbna ma skończoną liczbę elementów.

W tym przypadku prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A będzie równe liczbie dostępnych alternatyw dla uzyskania pożądanego wyniku (czyli liczby elementów w zestawie A) podzielonej przez liczbę elementów w przestrzeni próbki.

Tutaj należy wziąć pod uwagę, że wszystkie elementy przestrzeni próbnej muszą być jednakowo prawdopodobne (na przykład jako dane, które nie są zmieniane, w których prawdopodobieństwo otrzymania którejkolwiek z sześciu liczb jest takie samo).

Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo, że rzut kostką da nieparzystą liczbę? W tym przypadku zbiór A składałby się ze wszystkich liczb nieparzystych z zakresu od 1 do 6, a przestrzeń próbkowania składałaby się ze wszystkich liczb od 1 do 6. Zatem A ma 3 elementy, a przestrzeń próbkowa ma 6. Więc Dlatego P (A) = 3/6 = 1/2.

Jaka jest zasada addytywności?

Jak wspomniano wcześniej, prawdopodobieństwo mierzy częstotliwość występowania danego zdarzenia. Aby móc określić tę częstotliwość, ważne jest, aby wiedzieć, na ile sposobów można przeprowadzić to wydarzenie. Zasada addytywności pozwala nam dokonać tego obliczenia w konkretnym przypadku.

Zasada addytywności ustala, co następuje: Jeśli A jest zdarzeniem, które ma sposoby realizacji „a”, a B jest innym zdarzeniem, które ma sposoby realizacji „b”, i jeśli dodatkowo może wystąpić tylko A lub B, a nie oba w tym samym czasie W tym samym czasie sposoby realizacji A lub B (A deB) to a + b.

Ogólnie rzecz biorąc, jest to stwierdzane dla sumy skończonej liczby zbiorów (większej lub równej 2).

Przykłady

Pierwszy przykład

Jeśli księgarnia sprzedaje książki o literaturze, biologii, medycynie, architekturze i chemii, z których ma 15 różnych rodzajów książek o literaturze, 25 o biologii, 12 o medycynie, 8 o architekturze i 10 o chemii, ile opcji ma dana osoba wybrać książkę o architekturze czy biologii?

Zasada addytywności mówi nam, że liczba opcji lub sposobów dokonania tego wyboru to 8 + 25 = 33.

Zasada ta może być również zastosowana w przypadku, gdy chodzi o jedno wydarzenie, które z kolei ma do przeprowadzenia różne alternatywy.

Załóżmy, że chcesz wykonać określoną czynność lub zdarzenie A i że istnieje kilka alternatyw, powiedz n.

Z kolei pierwsza możliwość ma ₁ sposób wykonania, druga możliwość ma ₂ sposoby, i tak dalej, alternatywa numer n może być wykonana na _n sposobów.

Zasada addytywności mówi, że zdarzenie A może być wykonane w ₁ + do ₂ +… + na _n sposobów.

Drugi przykład

Załóżmy, że ktoś chce kupić parę butów. Kiedy przybywa do sklepu obuwniczego, znajduje tylko dwa różne modele butów w swoim rozmiarze.

Dostępne są dwa kolory jednego i pięć dostępnych kolorów drugiego. Na ile sposobów ta osoba może dokonać tego zakupu? Zgodnie z zasadą addytywności odpowiedź brzmi: 2 + 5 = 7.

Zasada addytywności powinna być stosowana, gdy chcesz obliczyć sposób wykonania jednego lub drugiego zdarzenia, a nie obu jednocześnie.

Aby obliczyć różne sposoby przeprowadzenia zdarzenia razem („i”) z innym - to znaczy, że oba zdarzenia muszą wystąpić jednocześnie - stosuje się zasadę multiplikacji.

Zasadę addytywności można również interpretować w kategoriach prawdopodobieństwa w następujący sposób: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A lub zdarzenia B, które jest oznaczone przez P (A∪B), wiedząc, że A nie może wystąpić jednocześnie z B, jest określone przez P (A∪B) = P (A) + P (B).

Trzeci przykład

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 5 podczas rzutu kostką lub orłami podczas rzucania monetą?

Jak widać powyżej, generalnie prawdopodobieństwo uzyskania dowolnej liczby podczas rzutu kostką wynosi 1/6.

W szczególności prawdopodobieństwo uzyskania 5 również wynosi 1/6. Podobnie prawdopodobieństwo uzyskania orła podczas rzutu monetą wynosi 1/2. Dlatego odpowiedź na poprzednie pytanie to P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Bibliografia

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Wprowadzenie klasycznego prawdopodobieństwa i jego zastosowań. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa. Obywatel Kolumbii.
3. Daston, L. (1995). Klasyczne prawdopodobieństwo w oświeceniu. Princeton University Press.
4. Hopkins, B. (2009). Zasoby do nauczania matematyki dyskretnej: projekty klasowe, moduły historyczne i artykuły.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematyka dyskretna. Edukacja Pearson.
6. Larson, HJ (1978). Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i wnioskowania statystycznego. Redakcja Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Skończone i dyskretne rozwiązywanie problemów matematycznych. Redaktorzy Stowarzyszenia Badań i Edukacji.
8. Martel, PJ i Vegas, FJ (1996). Prawdopodobieństwo i statystyka matematyczna: zastosowania w praktyce klinicznej i zarządzaniu zdrowiem. Wydania Díaz de Santos.
9. Padró, FC (2001). Matematyka dyskretna. Politèc. Katalonii.
10. Steiner, E. (2005). Matematyka dla nauk stosowanych. Przywróć.