ZASADA ARCHIMEDESA: WZÓR, DOWÓD, ZASTOSOWANIA - FIZYCZNY - 2026

Zasada Archimedesa mówi, że ciało zanurzone w całości lub częściowo otrzymuje pionową siłę skierowaną ku górze, zwaną pchnięciem, która jest równoważna masie objętości cieczy wypartej przez ciało.

Niektóre obiekty unoszą się w wodzie, niektóre toną, a niektóre częściowo zanurzają. Aby zatopić piłkę plażową, trzeba się wysilić, ponieważ natychmiast odczuwana jest siła, która próbuje przywrócić ją na powierzchnię. Zamiast tego metalowa kula szybko tonie.

Rysunek 1. Pływające balony: zasada Archimedesa w działaniu. Źródło: Pixabay.

Z drugiej strony zanurzone obiekty wydają się lżejsze, dlatego istnieje siła wywierana przez płyn, który przeciwstawia się ciężarowi. Ale nie zawsze może w pełni zrekompensować grawitację. I chociaż jest to bardziej widoczne w przypadku wody, gazy mogą również wytwarzać tę siłę na zanurzonych w nich obiektach.

Historia

Archimedes z Syracuse (287-212 pne) był tym, który musiał odkryć tę zasadę, będąc jednym z największych naukowców w historii. Mówi się, że król Syrakuz Hiero II nakazał złotnikowi wykonanie dla niego nowej korony, za którą dał mu pewną ilość złota.

Archimedes

Kiedy król otrzymał nową koronę, była to właściwa waga, ale podejrzewał, że złotnik oszukał go, dodając srebro zamiast złota. Jak mógł to udowodnić, nie niszcząc korony?

Hiero wezwał Archimedesa, którego reputacja jako uczonego była dobrze znana, aby pomóc mu rozwiązać problem. Legenda głosi, że Archimedes był zanurzony w wannie, kiedy znalazł odpowiedź i takie było jego wzruszenie, że biegał nago po ulicach Syrakuz w poszukiwaniu króla, krzycząc „eureka”, co oznacza „znalazłem go”.

Co znalazł Archimedes? Otóż ​​podczas kąpieli poziom wody w wannie podniósł się, gdy wszedł, co oznacza, że ​​zanurzone ciało wypiera określoną objętość cieczy.

A jeśli zanurzył koronę w wodzie, musiało to również wyprzeć pewną objętość wody, jeśli korona była ze złota, a inną, jeśli była wykonana ze stopu ze srebrem.

Formuła

Siła podnosząca, do której odnosi się zasada Archimedesa, jest nazywana parciem hydrostatycznym lub siłą wyporu i, jak powiedzieliśmy, jest równoważna masie objętości płynu wypartego przez ciało w zanurzeniu.

Wyparta objętość jest równa objętości zanurzonego obiektu, całkowicie lub częściowo. Ponieważ waga czegokolwiek to mg, a masa płynu to gęstość x objętość, co oznacza wielkość ciągu jako B, matematycznie mamy:

B = m _płynu xg = gęstość płynu x Objętość zanurzona x grawitacja

B = ρ _płyn x V _zanurzony xg

Gdzie grecka litera ρ („rho”) oznacza gęstość.

Pozorna waga

Waga przedmiotów jest obliczana za pomocą znanego wyrażenia mg, jednak zanurzenie w wodzie wydaje się lżejsze.

Pozorny ciężar przedmiotu jest taki, jaki ma, gdy jest zanurzony w wodzie lub innej cieczy, a znając to, można uzyskać objętość nieregularnego przedmiotu, takiego jak korona króla Hiero, jak widać poniżej.

W tym celu zanurza się go całkowicie w wodzie i przyczepia do sznurka przymocowanego do dynamometru - przyrządu wyposażonego w sprężynę służącą do pomiaru sił. Im większy ciężar przedmiotu, tym większe wydłużenie sprężyny, które mierzy się na skali przewidzianej w aparacie.

Rysunek 2. Pozorna waga zanurzonego obiektu. Źródło: opracował F. Zapata.

Stosując drugie prawo Newtona, wiedząc, że obiekt jest w spoczynku:

ΣF _y = B + T - W = 0

Pozorny ciężar W _a jest równy naprężeniu struny T:

Ponieważ ciąg kompensuje ciężar, ponieważ część płynu jest w spoczynku, to:

Z tego wyrażenia wynika, że ​​nacisk wynika z różnicy ciśnień między górną powierzchnią cylindra a dolną powierzchnią. Ponieważ W = mg = ρ płyn. V. g, musi:

Dokładnie to wyraża siłę ciągu wspomnianą w poprzedniej sekcji.

Aplikacje

Zasada Archimedesa pojawia się w wielu praktycznych zastosowaniach, wśród których wymienić można:

- Balon aerostatyczny. Który ze względu na średnią gęstość mniejszą niż otaczające powietrze unosi się w nim z powodu siły ciągu.

- Związki. Kadłub statków jest cięższy od wody. Ale jeśli weźmie się pod uwagę cały kadłub plus powietrze wewnątrz niego, stosunek całkowitej masy do objętości jest mniejszy niż wody i to jest powód, dla którego statki pływają.

- Kamizelki ratunkowe. Zbudowane z lekkich i porowatych materiałów, mogą pływać, ponieważ stosunek masy do objętości jest niższy niż w przypadku wody.

- Pływak do zamykania kurka napełniania zbiornika wody. Jest to wypełniona powietrzem kula o dużej objętości, która unosi się na powierzchni wody, co powoduje, że siła wypychająca - pomnożona przez efekt dźwigni - zamyka korek wlewu zbiornika wody, gdy osiągnie on poziom. całkowity.

Przykłady

Przykład 1

Legenda głosi, że król Hiero dał złotnikowi pewną ilość złota na koronę, ale nieufny monarcha pomyślał, że złotnik mógł oszukać, umieszczając w koronie metal mniej wartościowy niż złoto. Ale skąd mógł wiedzieć, nie niszcząc korony?

Król powierzył problem Archimedesowi i ten, szukając rozwiązania, odkrył jego słynną zasadę.

Załóżmy, że korona waży 2,10 kg-fw powietrzu i 1,95 kg-f po całkowitym zanurzeniu w wodzie. W tym przypadku, czy istnieje oszustwo, czy nie ma go?

Rycina 5. Diagram swobodnego ciała korony króla czapli. Źródło: opracował F. Zapata

Schemat sił pokazano na powyższym rysunku. Siły te to: ciężar P korony, napór E i naprężenie T liny zwisającej z wagi.

Wiadomo, że P = 2,10 kg-f i T = 1,95 kg-f, pozostaje do ustalenia wielkości ciągu E :

Z drugiej strony, zgodnie z zasadą Archimedesa, napór E jest równoważny ciężarowi wody wypartej z przestrzeni zajmowanej przez koronę, to znaczy gęstości wody pomnożonej przez objętość korony w wyniku przyspieszenia ziemskiego:

Skąd można obliczyć objętość korony:

Gęstość korony to iloraz masy korony wyjętej z wody i jej objętości:

Gęstość czystego złota można określić w podobny sposób, a wynik to 19300 kg / m ^ 3.

Porównując te dwie gęstości, widać wyraźnie, że korona nie jest czystym złotem!

Przykład 2

Na podstawie danych i wyniku z przykładu 1 można określić, ile złota zostało skradzione przez złotnika w przypadku, gdy ta część złota została zastąpiona srebrem o gęstości 10500 kg / m ^ 3.

Gęstość korony nazwiemy ρc, ρo gęstością złota, a ρ _p gęstością srebra.

Całkowita masa korony to:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Całkowita objętość korony to ilość srebra plus ilość złota:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Podstawienie do równania masy to:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Oznacza to, że objętość złota Vo, która zawiera koronę całkowitej objętości V, wynosi:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Aby znaleźć wagę złota zawartą w koronie, mnożymy Vo przez gęstość złota:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Ponieważ masa korony wynosi 2,10 kg, wiemy, że złotnik ukradł 0,94858 kg złota i zastąpił go srebrem.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Ogromny balon wypełniony helem jest w stanie utrzymać człowieka w równowadze (bez podnoszenia i opuszczania).

Załóżmy, że waga osoby wraz z koszem, linami i balonem wynosi 70 kg. Jaka jest wymagana objętość helu, aby to nastąpiło? Jak duży powinien być balon?

Rozwiązanie

Załóżmy, że ciąg jest wytwarzany głównie przez objętość helu, a ciąg pozostałych składników jest bardzo mały w porównaniu z ciągiem helu, który zajmuje znacznie większą objętość.

W takim przypadku będzie potrzebna ilość helu zdolna do zapewnienia ciągu 70 kg + ciężar helu.

Rysunek 6. Diagram swobodnego ciała balonu wypełnionego helem. Źródło: opracował F. Zapata.

Ciąg jest iloczynem objętości helu pomnożonej przez gęstość helu i przyspieszenie ziemskie. To pchnięcie musi zrównoważyć ciężar helu plus ciężar całej reszty.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

z którego wynika, że ​​V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Oznacza to, że do jego podniesienia potrzeba 65,4 m3 helu pod ciśnieniem atmosferycznym.

Jeśli przyjmiemy kulistą kulę, jej promień możemy znaleźć na podstawie relacji między objętością a promieniem kuli:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Skąd R = 2,49 m. Innymi słowy, będzie to wymagało balonu o średnicy 5 m wypełnionego helem.

Ćwiczenie 2

Pływają w nim materiały o gęstości mniejszej niż woda. Załóżmy, że masz polistyren (biały korek), drewno i kostki lodu. Ich gęstości w kg na metr sześcienny wynoszą odpowiednio: 20, 450 i 915.

Sprawdź, jaka część całkowitej objętości znajduje się na zewnątrz wody i jak wysoko znajduje się nad powierzchnią wody, przyjmując 1000 kilogramów na metr sześcienny jako gęstość tej ostatniej.

Rozwiązanie

Wyporność występuje, gdy ciężar ciała jest równy naporowi wywołanemu przez wodę:

E = M⋅g

Rysunek 7. Diagram swobodnego ciała częściowo zanurzonego obiektu. Źródło: opracował F. Zapata.

Masa to gęstość ciała Dc pomnożona przez jego objętość V i przyspieszenie ziemskie g.

Ciąg to ciężar płynu wypartego zgodnie z zasadą Archimedesa i jest obliczany przez pomnożenie gęstości D wody przez zanurzoną objętość V 'oraz przez przyspieszenie ziemskie.

To jest:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Co oznacza, że ​​zanurzony ułamek objętości jest równy ilorazowi gęstości ciała i gęstości wody.

Oznacza to, że pozostały ułamek objętości (V '' / V) wynosi

Jeśli h jest wysokością nawisu, a L bokiem sześcianu, ułamek objętościowy można zapisać jako

Zatem wyniki dla zamówionych materiałów to:

Polistyren (biały korek):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% poza wodą

Drewno:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% poza wodą

Lód:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% poza wodą

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Mechanika płynów. Podstawy i zastosowania. Pierwsza edycja. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 4. Płyny i termodynamika. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mechanika płynów i hydraulika. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Osoba. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fizyka: koncepcje i zastosowania. 7th Edition. McGraw Hill.