ZASADA MNOŻENIA: TECHNIKI LICZENIA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Zasada multiplikatywności to technika używana do rozwiązywania problemów z liczeniem w celu znalezienia rozwiązania bez konieczności wyszczególniania jego elementów. Jest również znany jako podstawowa zasada analizy kombinatorycznej; opiera się na sukcesywnym mnożeniu w celu określenia, jak zdarzenie może wystąpić.

Zasada ta mówi, że jeśli decyzja (d ₁ ) może być podjęta na n sposobach, a inna decyzja (d ₂ ) na m, to całkowita liczba sposobów, na jakie można podjąć decyzje d ₁ id _2, będzie równa pomnożyć z n _* m. Zgodnie z zasadą każda decyzja jest podejmowana jedna po drugiej: liczba dróg = N _{1 *} N ₂ … _* N _x dróg.

Przykłady

Przykład 1

Paula planuje pójść z koleżankami do kina i żeby wybrać ciuchy, które będzie nosić, oddzielam 3 bluzki i 2 spódnice. Na ile sposobów może się ubrać Paula?

Rozwiązanie

W takim przypadku Paula musi podjąć dwie decyzje:

d ₁ = Wybierz _{jedną z} 3 bluzek = n

d ₂ = Wybierz pomiędzy 2 spódnicami = m

W ten sposób Paula ma n _* m decyzje dokonania lub różne sposoby ubierania.

n _* m = 3 _* 2 = 6 decyzji.

Zasada multiplikatywności rodzi się z techniki diagramu drzewiastego, który jest diagramem łączącym wszystkie możliwe wyniki, tak że każdy z nich może wystąpić skończoną liczbę razy.

Przykład 2

Mario był bardzo spragniony, więc poszedł do piekarni po sok. Luis opiekuje się nim i mówi mu, że występuje w dwóch rozmiarach: dużym i małym; oraz cztery smaki: jabłkowy, pomarańczowy, cytrynowy i winogronowy. Na ile sposobów Mario może wybrać sok?

Rozwiązanie

Na diagramie widać, że Mario ma 8 różnych sposobów wyboru soku i, podobnie jak w przypadku zasady mnożenia, wynik ten uzyskuje się przez pomnożenie n _* m. Jedyna różnica polega na tym, że na tym diagramie możesz zobaczyć, jak Mario wybiera sok.

Z drugiej strony, gdy liczba możliwych wyników jest bardzo duża, bardziej praktyczne jest zastosowanie zasady mnożenia.

Techniki liczenia

Techniki liczenia są metodami służącymi do bezpośredniego liczenia, a tym samym poznania liczby możliwych układów, jakie mogą mieć elementy danego zbioru. Techniki te opierają się na kilku zasadach:

Zasada dodawania

Zasada ta mówi, że jeśli dwa zdarzenia m i n nie mogą wystąpić w tym samym czasie, liczba sposobów, w jakie może wystąpić pierwsze lub drugie zdarzenie, będzie sumą m + n:

Liczba kształtów = m + n… + x różnych kształtów.

Przykład

Antonio chce się wybrać na wycieczkę, ale nie decyduje, dokąd; w Southern Tourism Agency oferują promocję na podróż do Nowego Jorku lub Las Vegas, podczas gdy Eastern Tourism Agency zaleca podróż do Francji, Włoch lub Hiszpanii. Ile różnych alternatyw podróży oferuje Ci Antonio?

Rozwiązanie

Z Południową Agencją Turystyczną Antonio ma 2 możliwości (Nowy Jork lub Las Vegas), podczas gdy we Wschodniej Agencji Turystycznej ma 3 możliwości (Francja, Włochy lub Hiszpania). Liczba różnych alternatyw to:

Liczba alternatyw = m + n = 2 + 3 = 5 alternatyw.

Zasada permutacji

Chodzi o konkretne zamówienie wszystkich lub niektórych elementów składających się na zestaw, aby ułatwić policzenie wszystkich możliwych układów, jakie można wykonać z elementami.

Liczba permutacji n różnych elementów, wziętych wszystkich naraz, jest reprezentowana jako:

_n P _n = n!

Przykład

Czwórka przyjaciół chce zrobić zdjęcie i chce wiedzieć, na ile różnych sposobów można je ułożyć.

Rozwiązanie

Chcesz poznać zestaw wszystkich możliwych sposobów, w jakie 4 osoby mogą zostać ustawione, aby zrobić zdjęcie. Dlatego musisz:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 różne kształty.

Jeśli liczba permutacji n dostępnych elementów jest przyjmowana przez części zbioru, który jest utworzony przez r elementów, jest reprezentowany jako:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Przykład

W klasie jest 10 miejsc. Jeśli w zajęciach uczestniczy 4 uczniów, na ile różnych sposobów mogą oni zajmować stanowiska?

Rozwiązanie

Mamy, że całkowita liczba krzeseł wynosi 10, a z nich zostaną użyte tylko 4. Podany wzór jest stosowany do określenia liczby permutacji:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 sposobów wypełniania pozycji.

Zdarzają się przypadki, w których niektóre z dostępnych elementów zestawu powtarzają się (są takie same). Aby obliczyć liczbę tablic przyjmujących wszystkie elementy w tym samym czasie, stosuje się następujący wzór:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Przykład

Ile różnych czteroliterowych słów można utworzyć ze słowa „wilk”?

Rozwiązanie

W tym przypadku są 4 elementy (litery), z których dwa są dokładnie takie same. Stosując podaną formułę wiadomo, ile różnych słów powstaje:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 różnych słów.

Zasada kombinacji

Chodzi o ułożenie wszystkich lub niektórych elementów składających się na zestaw bez określonej kolejności. Na przykład, jeśli masz układ XYZ, będzie on identyczny, między innymi, jak układ ZXY, YZX, ZYX; Dzieje się tak, ponieważ pomimo tego, że nie są w tej samej kolejności, elementy każdego układu są takie same.

Gdy jakieś elementy (r) są brane ze zbioru (n), zasada łączenia jest określona następującym wzorem:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Przykład

W sklepie sprzedają 5 różnych rodzajów czekolady. Na ile różnych sposobów można wybrać 4 czekoladki?

Rozwiązanie

W takim przypadku musisz wybrać 4 czekoladki z 5 rodzajów sprzedawanych w sklepie. Kolejność, w jakiej są wybierane, nie ma znaczenia, a dodatkowo rodzaj czekolady można wybrać więcej niż dwa razy. Stosując formułę musisz:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 różnych sposobów na wybór 4 czekoladek.

Gdy wszystkie elementy (r) zbioru (n) są brane pod uwagę, zasada kombinacji jest określona następującym wzorem:

_n C _{n =} n!

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Jest drużyna baseballowa licząca 14 członków. Na ile sposobów można przypisać 5 pozycji do gry?

Rozwiązanie

Zestaw składa się z 14 elementów i chcesz przypisać 5 konkretnych pozycji; to znaczy porządek ma znaczenie. Formuła permutacji jest stosowana, gdy n dostępnych elementów jest przyjmowanych przez części zbioru utworzonego przez r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Gdzie n = 14 ir = 5. Jest podstawiany we wzorze:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 sposobów przypisania 9 pozycji w grze.

Ćwiczenie 2

Jeśli 9-osobowa rodzina wybiera się w podróż i kupuje bilety z kolejnymi miejscami, na ile różnych sposobów może usiąść?

Rozwiązanie

To około 9 elementów, które zajmą kolejno 9 miejsc.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362880 różnych sposobów siedzenia.

Bibliografia

1. Hopkins, B. (2009). Zasoby do nauczania matematyki dyskretnej: projekty klasowe, moduły historyczne i artykuły.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematyka dyskretna. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Skończone i dyskretne rozwiązywanie problemów matematycznych. Redaktorzy Stowarzyszenia Badań i Edukacji.
4. Padró, FC (2001). Matematyka dyskretna. Politèc. Katalonii.
5. Steiner, E. (2005). Matematyka dla nauk stosowanych. Przywróć.