ILOCZYN KRZYŻOWY: WŁAŚCIWOŚCI, ZASTOSOWANIA I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Iloczyn produkt lub wektor jest sposób mnożenia dwóch lub więcej wektorów. Istnieją trzy sposoby mnożenia wektorów, ale żaden z nich nie jest mnożeniem w zwykłym znaczeniu tego słowa. Jedna z tych form jest znana jako produkt wektorowy, co daje trzeci wektor.

Iloczyn wektorowy, nazywany również iloczynem krzyżowym lub iloczynem zewnętrznym, ma różne właściwości algebraiczne i geometryczne. Właściwości te są bardzo przydatne, szczególnie w badaniach fizyki.

Definicja

Formalna definicja iloczynu wektorowego jest następująca: jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3) są wektorami, to iloczyn wektorowy A i B, który oznaczymy jako AxB, to:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Ze względu na notację AxB jest odczytywane jako „A cross B”.

Przykładem użycia iloczynu zewnętrznego jest to, że jeśli A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4) są wektorami, to używając definicji iloczynu wektorowego mamy:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Innym sposobem wyrażenia iloczynu wektorowego jest zapis wyznaczników.

Obliczenie wyznacznika drugiego rzędu daje:

Dlatego wzór na iloczyn krzyżowy podany w definicji można przepisać w następujący sposób:

Zwykle upraszcza się to do wyznacznika trzeciego rzędu w następujący sposób:

Gdzie i, j, k reprezentują wektory tworzące podstawę R ³ .

Używając tego sposobu wyrażenia iloczynu krzyżowego, mamy, że poprzedni przykład można przepisać jako:

Nieruchomości

Niektóre właściwości, które posiada produkt wektorowy, są następujące:

Właściwość 1

Jeśli A jest dowolnym wektorem w R ³ , mamy:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Te właściwości można łatwo sprawdzić przy użyciu samej definicji. Jeśli A = (a1, a2, a3) mamy:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jeśli i, j, k reprezentują jednostkę podstawową R ³ , możemy zapisać je w następujący sposób:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Więc mamy, że następujące właściwości są prawdziwe:

Z zasady mnemonicznej często używa się następującego koła do zapamiętania tych właściwości:

Tam musimy zauważyć, że każdy wektor ze sobą daje w rezultacie wektor 0, a resztę iloczynów można uzyskać według następującej reguły:

Iloczyn wektorowy dwóch kolejnych wektorów w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara daje następny wektor; a kiedy rozważa się kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara, wynikiem jest następujący wektor ze znakiem ujemnym.

Dzięki tym właściwościom widzimy, że produkt wektorowy nie jest przemienny; na przykład, po prostu zauważ, że ixj ≠ jx i. Następująca właściwość mówi nam, w jaki sposób AxB i BxA są ogólnie powiązane.

Właściwość 2

Jeśli A i B są wektorami R ³ , mamy:

AxB = - (BxA).

Demonstracja

Jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), z definicji produktu zewnętrznego mamy:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Widzimy również, że ten produkt nie jest skojarzony z następującym przykładem:

ix (ixj) = ixk = - j ale (ixi) xj = 0xj = 0

Z tego widać, że:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Właściwość 3

Jeśli A, B, C są wektorami R ³ i r jest liczbą rzeczywistą, to jest prawdziwe:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Dzięki tym właściwościom możemy obliczyć iloczyn wektorowy, korzystając z praw algebry, pod warunkiem przestrzegania kolejności. Na przykład:

Jeśli A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4), możemy je przepisać w kategoriach kanonicznej podstawy R ³ .

Zatem A = i + 2j + 3k i B = 3i - 2j + 4k. Następnie stosując poprzednie właściwości:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Właściwość 4 (iloczyn potrójny)

Jak wspomnieliśmy na początku, poza iloczynem wektorów istnieją inne sposoby mnożenia wektorów. Jednym z tych sposobów jest iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny, który jest oznaczony jako A and B i którego definicja to:

Jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), to A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Właściwość, która wiąże oba produkty, jest znana jako iloczyn potrójny skalarny.

Jeśli A, B i C są wektorami R ³ , to A ∙ BxC = AxB ∙ C

Jako przykład zobaczmy, że biorąc pod uwagę A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ta właściwość jest spełniona.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Z drugiej strony:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Innym potrójnym produktem jest Ax (BxC), który jest znany jako potrójny produkt wektorowy.

Właściwość 5 (produkt potrójny wektor)

Jeśli A, B i C są wektorami R ³ , to:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Jako przykład zobaczmy, że biorąc pod uwagę A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ta właściwość jest spełniona.

Z poprzedniego przykładu wiemy, że BxC = (- 18, - 22, 17). Obliczmy Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Z drugiej strony musimy:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Dlatego musimy:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Właściwość 6

Jest to jedna z właściwości geometrycznych wektorów. Jeśli A i B są dwoma wektorami w R ^3, a ϴ jest kątem utworzonym między nimi, to:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), gdzie - ∙ - oznacza moduł lub wielkość wektora.

Geometryczna interpretacja tej właściwości jest następująca:

Niech A = PR i B = PQ. Zatem kąt utworzony przez wektory A i B jest kątem P trójkąta RQP, jak pokazano na poniższym rysunku.

Dlatego obszar równoległoboku, który ma PR i PQ jako sąsiednie boki, wynosi --A ---- B - sin (ϴ), ponieważ możemy przyjąć --A-- jako podstawę, a jej wysokość jest określona wzorem --B - sin (ϴ).

Dlatego możemy wywnioskować, że - AxB - to pole tego równoległoboku.

Przykład

Biorąc pod uwagę następujące wierzchołki czworoboku P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) i S (5,7, -3), pokaż, że wspomniany czworobok jest równoległobokiem i znajdź jego pole.

W tym celu najpierw określamy wektory, które określają kierunek boków czworoboku. To jest:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Jak widać, A i C mają ten sam wektor kierunkowy, dla którego mamy, że oba są równoległe; to samo dzieje się z B i D. Dlatego dochodzimy do wniosku, że PQRS jest równoległobokiem.

Aby mieć pole tego równoległoboku, obliczamy BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Dlatego kwadrat do kwadratu będzie:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Można wywnioskować, że obszar równoległoboku będzie pierwiastkiem kwadratowym z 89.

Właściwość 7

Dwa wektory A i B są równoległe w R ³ wtedy i tylko wtedy, gdy AxB = 0

Demonstracja

Oczywiste jest, że jeśli A lub B są wektorem zerowym, spełnione jest, że AxB = 0. Ponieważ wektor zerowy jest równoległy do ​​dowolnego innego wektora, to właściwość jest prawidłowa.

Jeśli żaden z dwóch wektorów nie jest wektorem zerowym, mamy, że ich wielkości są różne od zera; to znaczy zarówno --A-- ≠ 0, jak i --B-- ≠ 0, więc będziemy mieli --AxB-- = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy sin (ϴ) = 0, a dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy ϴ = π lub ϴ = 0.

Dlatego możemy stwierdzić, że AxB = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ϴ = π lub ϴ = 0, co ma miejsce tylko wtedy, gdy oba wektory są do siebie równoległe.

Właściwość 8

Jeśli A i B są dwoma wektorami w R ³ , to AxB jest prostopadłe zarówno do A, jak i B.

Demonstracja

Dla tego dowodu pamiętajmy, że dwa wektory są prostopadłe, jeśli A ∙ B jest równe zero. Ponadto wiemy, że:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA jest równe 0. Zatem mamy:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Z tego możemy wywnioskować, że A i AxB są do siebie prostopadłe. Analogicznie musimy:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Ponieważ BxB = 0, mamy:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Dlatego AxB i B są do siebie prostopadłe, a wraz z tym właściwość jest zademonstrowana. Jest to dla nas bardzo przydatne, ponieważ pozwalają nam określić równanie płaszczyzny.

Przykład 1

Uzyskaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) i R (2, 1, 3).

Niech A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) i B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Wtedy A = - i + 3j + k i B = i - 2j + k. Aby znaleźć płaszczyznę utworzoną przez te trzy punkty, wystarczy znaleźć wektor normalny do płaszczyzny, czyli AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Mając ten wektor i biorąc punkt P (1, 3, 2), możemy wyznaczyć równanie płaszczyzny w następujący sposób:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Zatem mamy, że równanie płaszczyzny to 5x + 2y - z - 9 = 0.

Przykład 2

Znajdź równanie płaszczyzny, która zawiera punkt P (4, 0, - 2) i jest prostopadła do każdej z płaszczyzn x - y + z = 0 i 2x + y - 4z - 5 = 0.

Wiedząc, że wektor normalny do płaszczyzny ax + by + cz + d = 0 to (a, b, c), mamy, że (1, -1,1) jest wektorem normalnym x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) jest wektorem normalnym 2x + y - 4z - 5 = 0.

Dlatego wektor normalny do poszukiwanej płaszczyzny musi być prostopadły do ​​(1, -1,1) i do (2, 1, - 4). Ten wektor to:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Wówczas mamy, że poszukiwana płaszczyzna to ta, która zawiera punkt P (4,0, - 2) i ma wektor (3,6,3) jako wektor normalny.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikacje

Obliczanie objętości równoległościanu

Aplikacja, która ma potrójny iloczyn skalarny, ma być w stanie obliczyć objętość równoległościanu, którego krawędzie wyznaczają wektory A, B i C, jak pokazano na rysunku:

Możemy wydedukować tę aplikację w następujący sposób: jak powiedzieliśmy wcześniej, wektor AxB jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny A i B. Mamy również to, że wektor - (AxB) jest innym wektorem normalnym do wspomnianej płaszczyzny.

Wybieramy wektor normalny, który tworzy najmniejszy kąt z wektorem C; Bez utraty ogólności niech AxB będzie wektorem, którego kąt z C jest najmniejszy.

Mamy, że zarówno AxB, jak i C mają ten sam punkt wyjścia. Ponadto wiemy, że obszar równoległoboku, który tworzy podstawę równoległościanu, to --AxB--. Dlatego, jeśli wysokość równoległościanu jest podana przez h, mamy, że jego objętość będzie wynosić:

V = --AxB - h.

Z drugiej strony rozważmy iloczyn skalarny między AxB i C, który można opisać następująco:

Jednak z właściwości trygonometrycznych mamy h = --C - cos (ϴ), więc mamy:

W ten sposób mamy to:

Ogólnie rzecz biorąc, mamy, że objętość równoległościanu jest określona wartością bezwzględną potrójnego iloczynu skalarnego AxB ∙ C.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Biorąc pod uwagę punkty P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) i S = (2, 6, 9), punkty te tworzą równoległościan, którego krawędzie są to PQ, PR i PS. Określ objętość wspomnianego równoległościanu.

Rozwiązanie

Jeśli weźmiemy:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Korzystając z właściwości iloczynu potrójnego skalarnego, mamy:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Dlatego mamy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 52.

Ćwiczenie 2

Określ objętość równoległościanu, którego krawędzie są podane przez A = PQ, B = PR i C = PS, gdzie punkty P, Q, R i S to (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) i (2, 2, 5) odpowiednio.

Rozwiązanie

Najpierw mamy A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Obliczamy AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Następnie obliczamy AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.

Tak więc wnioskujemy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 1 jednostkę sześcienną.

Bibliografia

1. Leithold, L. (1992). Obliczenia z geometrią analityczną. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D. i Krane, K. (2001). Fizyka, tom 1. Meksyk: kontynentalny.
3. Saenz, J. (nd). Rachunek wektorowy 1ed. Przeciwprostokątna.
4. Spiegel, MR (2011). Analiza wektorowa 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG i Wright, W. (2011). Obliczanie kilku zmiennych 4ed. Mc Graw Hill.