ZŁOŻONA PROPORCJONALNOŚĆ: WYJAŚNIENIE, ZŁOŻONA REGUŁA TRZECH, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Kompozytu lub wielokrotne proporcjonalności stanowi stosunek wielkości od dwóch, co można zaobserwować bezpośrednio odwrotną proporcjonalność pomiędzy danymi i nieznany. To bardziej zaawansowana wersja prostej proporcjonalności, chociaż techniki stosowane w obu procedurach są podobne.

Na przykład, jeśli do wyładowania 10 ton towaru w ciągu 3 godzin potrzeba 7 osób, można zastosować proporcjonalność złożoną, aby obliczyć, ile osób zajmie rozładunek 15 ton w 4 godziny.

Źródło: pixabay.com

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wygodnie jest sporządzić tabelę wartości w celu zbadania i powiązania wielkości i niewiadomych.

Przechodzimy do analizy typów relacji między każdą wielkością a obecną nieznaną, która w tym przypadku odpowiada liczbie osób, które będą pracować.

Wraz ze wzrostem wagi towaru rośnie liczba osób potrzebnych do jego rozładunku. Z tego powodu związek między wagą a pracownikami jest bezpośredni.

Z drugiej strony wraz ze wzrostem liczby pracowników zmniejszają się godziny pracy. W związku z tym zależność między ludźmi a godzinami pracy ma charakter odwrotny.

Jak obliczyć złożone proporcje

Aby rozwiązać przykłady, takie jak powyższy, stosuje się głównie regułę złożoną trzech metod. Polega to na ustaleniu rodzajów relacji między ilościami i niewiadomymi, a następnie przedstawieniu iloczynu między ułamkami.

W odniesieniu do początkowego przykładu ułamki odpowiadające tabeli wartości są zorganizowane w następujący sposób:

Ale przed rozwiązaniem i rozwiązaniem nieznanego ułamki odpowiadające odwrotnej zależności muszą zostać odwrócone. Które w tym przypadku odpowiadają zmiennemu czasowi. W ten sposób operacją do rozwiązania będzie:

Którą jedyną różnicą jest inwersja ułamka odpowiadającego zmiennej czasu 4/3. Przechodzimy do operacji i usuwamy wartość x.

Tak więc potrzeba więcej niż jedenastu osób, aby rozładować 15 ton towaru w 4 godziny lub krócej.

Wyjaśnienie

Proporcjonalność to stały związek między wielkościami podlegającymi zmianom, który będzie symetryczny dla każdej z tych wielkości. Istnieją zależności wprost i odwrotnie proporcjonalne, definiując w ten sposób parametry proporcjonalności prostej lub złożonej.

Bezpośrednia zasada trzech

Składa się z relacji proporcji między zmiennymi, które po zmodyfikowaniu wykazują takie samo zachowanie. Jest to bardzo częste przy obliczaniu procentów odnoszących się do wielkości innych niż sto, gdzie docenia się jego podstawową strukturę.

Przykładowo można obliczyć 15% z 63. Na pierwszy rzut oka ten procent nie jest łatwy do oszacowania. Ale wdrażając zasadę trzech, można sformułować następującą zależność: jeśli 100% to 63, to 15%, ile to będzie?

100% ---- 63

15% ---– X

Odpowiednia operacja to:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Gdzie znaki procentowe są uproszczone i uzyskuje się liczbę 9,45, co stanowi 15% z 63.

Odwrotna reguła trzech

Jak sama nazwa wskazuje, w tym przypadku zależność między zmiennymi jest odwrotna. Przed przystąpieniem do obliczeń należy ustalić odwrotną zależność. Jego procedura jest identyczna z zasadą bezpośredniej trójki, z wyjątkiem inwestycji we frakcję, która ma być obliczona.

Na przykład 3 malarzy potrzebuje 5 godzin na wykończenie ściany. W ilu godzinach ukończyło to 4 malarzy?

W tym przypadku zależność jest odwrotna, ponieważ wraz ze wzrostem liczby malarzy czas pracy powinien się zmniejszać. Związek jest ustanowiony;

3 malarzy - 5 godzin

4 malarzy - X godz

Gdy relacja jest odwrócona, kolejność operacji jest odwrócona. To jest właściwy sposób;

(3 malarzy). (5 godzin) / 4 malarzy = 3,75 godziny

Termin malarze jest uproszczony, a wynik to 3,75 godziny.

Stan: schorzenie

Aby istnieć związek lub wielokrotna proporcjonalność, konieczne jest znalezienie obu rodzajów zależności między wielkościami i zmiennymi.

- Bezpośredni: zmienna zachowuje się tak samo jak nieznana. Oznacza to, że gdy jeden rośnie lub maleje, drugi ulega jednakowej zmianie.

- Odwrotność: zmienna ma zachowanie antonimowe w stosunku do nieznanego. Ułamek definiujący tę zmienną w tabeli wartości musi zostać odwrócony, aby przedstawić odwrotnie proporcjonalną zależność między zmienną a nieznaną.

Weryfikacja wyników

Podczas pracy ze złożonymi proporcjonalnościami bardzo często myli się kolejność wielkości, w przeciwieństwie do tego, co dzieje się w zwykłych obliczeniach proporcji, których natura jest w większości bezpośrednia i możliwa do rozwiązania za pomocą prostej reguły trzech.

Z tego powodu ważne jest, aby zbadać logiczną kolejność wyników, weryfikując spójność liczb otrzymanych przez złożoną regułę trzech.

W początkowym przykładzie popełnienie takiego błędu skutkowałoby wynikiem 20. Oznacza to, że 20 osób wyładuje 15 ton towaru w 4 godziny.

Na pierwszy rzut oka nie wydaje się to szalonym wynikiem, ale ciekawy jest wzrost personelu o prawie 200% (z 7 do 20 osób) przy wzroście towaru o 50%, a nawet przy większym marginesie czasu na wykonanie Praca.

Zatem logiczna weryfikacja wyników stanowi ważny krok w realizacji złożonej reguły trzech.

Luz

Chociaż ma bardziej podstawowy charakter w odniesieniu do szkolenia matematycznego, zezwolenie stanowi ważny krok w przypadkach proporcjonalności. Złe zezwolenie wystarczy, aby unieważnić jakikolwiek wynik uzyskany w prostej lub złożonej regule trzech.

Historia

Rządy trójki stały się znane na Zachodzie przez Arabów dzięki publikacjom różnych autorów. Wśród nich Al-Jwarizmi i Al-Biruni.

Al-Biruni, dzięki swojej wielokulturowej wiedzy, miał dostęp do obszernych informacji na temat tej praktyki podczas swoich podróży do Indii, będąc odpowiedzialnym za najobszerniejszą dokumentację dotyczącą zasady trójki.

W swoich badaniach stwierdza, że ​​Indie były pierwszym miejscem, w którym powszechne stało się stosowanie reguły trzech. Pisarz zapewnia, że ​​został wykonany w sposób płynny w wersjach bezpośrednich, odwrotnych, a nawet skomponowanych.

Dokładna data, kiedy zasada trójki stała się częścią wiedzy matematycznej Indii, jest wciąż nieznana. Jednak najstarszy dokument odnoszący się do tej praktyki, rękopis Bakhshali, został odkryty w 1881 roku. Obecnie znajduje się w Oksfordzie.

Wielu historyków matematyki twierdzi, że rękopis ten pochodzi z początku obecnej ery.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Linia lotnicza musi przewozić 1535 osób. Wiadomo, że przy 3 samolotach transport ostatniego pasażera do celu zajęłoby 12 dni. Do linii lotniczej przybyło jeszcze 450 osób i nakazano naprawę 2 samolotów, aby pomóc w tym zadaniu. Ile dni zajmie linii lotniczej przewóz ostatniego pasażera do miejsca docelowego?

Zależność między liczbą osób a liczbą dni pracy jest bezpośrednia, ponieważ im więcej osób, tym więcej dni zajmie wykonanie tej pracy.

Z drugiej strony relacja między samolotami a liczbą dni jest odwrotnie proporcjonalna. Wraz ze wzrostem liczby samolotów zmniejsza się liczba dni transportu wszystkich pasażerów.

Sporządzono tabelę wartości odnoszących się do tego przypadku.

Jak wyszczególniono w pierwszym przykładzie, licznik i mianownik należy odwrócić do ułamka odpowiadającego zmiennej odwrotnej względem nieznanego. Operacja wygląda następująco:

X = 71460/7675 = 9,31 dnia

Przeniesienie 1985 osób 5 samolotami zajmuje więcej niż 9 dni.

Ćwiczenie 2

25-tonowy zbiór kukurydzy jest przewożony na ciężarówki. Wiadomo, że w poprzednim roku zajęło im to 8 godzin przy zatrudnieniu 150 pracowników. Jeśli w tym roku płace wzrosną o 35%, ile czasu zajmie im napełnienie ciężarówek 40-tonowym plonem?

Przed przedstawieniem tabeli wartości należy określić liczbę pracowników na ten rok. Zwiększyło się to o 35% w stosunku do początkowej liczby 150 pracowników. Wykorzystuje się do tego bezpośrednią regułę trzech.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35,100) / 100 = 52,5. Jest to liczba dodatkowych pracowników w stosunku do poprzedniego roku, uzyskując łącznie 203 pracowników po zaokrągleniu uzyskanej kwoty.

Przystępujemy do definiowania odpowiedniej tabeli danych

W tym przypadku waga reprezentuje zmienną bezpośrednio związaną z nieznanym czasem. Z drugiej strony zmienna robotnicza ma odwrotny związek z czasem. Im większa liczba pracowników, tym krótszy dzień pracy.

Biorąc pod uwagę te rozważania i odwracając ułamek odpowiadający zmiennej robotniczej, przystępujemy do obliczeń.

X = 40600/6000 = 6,76 godzin

Podróż zajmie niecałe 7 godzin.

Proponowane ćwiczenia

- Zdefiniuj 73% z 2875.

- Oblicz liczbę godzin, które Teresa śpi, jeśli wiadomo, że przesypia tylko 7% całego dnia. Określ, ile godzin śpisz w tygodniu.

- Gazeta publikuje 2000 egzemplarzy co 5 godzin, używając tylko 2 maszyn drukarskich. Ile kopii wyprodukuje w ciągu 1 godziny, jeśli korzysta z 7 maszyn? Jak długo zajmie wyprodukowanie 10 000 kopii przy użyciu 4 maszyn?

Bibliografia

1. Encyklopedia Alvareza-inicjacja. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Kompletny podręcznik dotyczący nauczania na poziomie podstawowym i wyższym: dla początkujących nauczycieli, a zwłaszcza uczniów szkół podstawowych prowincji, tom 1. Joaquín Avendaño. Druk D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Racjonalne przybliżenie funkcji rzeczywistych. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 marca. 2011.
4. Podstawowa arytmetyka do nauczania w szkołach i na uczelniach w Ameryce Środkowej. Darío González. Wskazówka. Arenales, 1926.
5. The Study of Mathematics: O nauce i trudnościach matematyki. Augustus De Morgan. Baldwin i Cradock, 1830.