CO TO SĄ RÓWNANIA RÓWNOCZESNE? (ĆWICZENIA ROZWIĄZANE) - MATEMATYKA - 2026

Do równań są te równania, które muszą być spełnione jednocześnie. Dlatego, aby mieć równoczesne równania, musisz mieć więcej niż jedno równanie.

Kiedy masz dwa lub więcej różnych równań, które muszą mieć to samo rozwiązanie (lub te same rozwiązania), mówi się, że masz układ równań lub mówi się również, że masz równania równoczesne.

Kiedy mamy równoczesne równania, może się zdarzyć, że nie mają one wspólnych rozwiązań lub mają skończoną ilość lub nieskończoną ilość.

Równania równoczesne

Biorąc pod uwagę dwa różne równania Eq1 i Eq2, wynika, że ​​układ tych dwóch równań nazywa się równaniami równoczesnymi.

Równoczesne równania gwarantują, że jeśli S jest rozwiązaniem równania 1, to S jest również rozwiązaniem równania 2 i odwrotnie

cechy

Jeśli chodzi o układ równoczesnych równań, możesz mieć 2 równania, 3 równania lub N równań.

Najpopularniejszymi metodami rozwiązywania równoczesnych równań są: podstawienie, wyrównywanie i redukcja. Istnieje również inna metoda zwana regułą Cramera, która jest bardzo przydatna w przypadku układów zawierających więcej niż dwa równoczesne równania.

Przykładem równoczesnych równań jest układ

Równanie 1: x + y = 2

Równanie 2: 2x-y = 1

Można zauważyć, że x = 0, y = 2 jest rozwiązaniem równania 1, ale nie jest rozwiązaniem równania 2.

Jedynym wspólnym rozwiązaniem, które mają oba równania, jest x = 1, y = 1. Oznacza to, że x = 1, y = 1 jest rozwiązaniem układu równoczesnych równań.

Rozwiązane ćwiczenia

Następnie przystępujemy do rozwiązania przedstawionego powyżej układu równoczesnych równań trzema wspomnianymi metodami.

Pierwsze ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 metodą podstawienia.

Rozwiązanie

Metoda podstawienia polega na rozwiązaniu jednej z niewiadomych w jednym z równań, a następnie podstawieniu jej w drugim równaniu. W tym konkretnym przypadku możemy znaleźć "y" z równania 1 i otrzymamy, że y = 2-x.

Podstawiając tę ​​wartość „y” w równaniu 2, otrzymujemy 2x- (2-x) = 1. Dlatego otrzymujemy, że 3x-2 = 1, czyli x = 1.

Następnie, ponieważ znana jest wartość x, jest ona podstawiana w „y” i otrzymujemy, że y = 2-1 = 1.

Dlatego jedynym rozwiązaniem układu równoczesnych równań Eq1 i Eq2 jest x = 1, y = 1.

Ćwiczenie drugie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 metodą dopasowywania.

Rozwiązanie

Metoda dopasowywania polega na rozwiązaniu tej samej niewiadomej w obu równaniach, a następnie dopasowaniu otrzymanych równań.

Rozwiązując „x” z obu równań, otrzymujemy, że x = 2-y i że x = (1 + y) / 2. Teraz te dwa równania są wyrównane i otrzymujemy, że 2-y = (1 + y) / 2, z czego wynika, że ​​4-2y = 1 + y.

Zgrupowanie nieznanego „y” po tej samej stronie daje y = 1. Teraz, gdy znane jest „y”, przystępujemy do znalezienia wartości „x”. Podstawiając y = 1, otrzymujemy x = 2-1 = 1.

Dlatego wspólnym rozwiązaniem między równaniami Eq1 i Eq2 jest x = 1, y = 1.

Ćwiczenie trzecie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 metodą redukcyjną.

Rozwiązanie

Metoda redukcyjna polega na przemnożeniu podanych równań przez odpowiednie współczynniki, tak aby przy dodawaniu tych równań jedna ze zmiennych została anulowana.

W tym konkretnym przykładzie nie jest konieczne mnożenie żadnego równania przez żaden współczynnik, wystarczy je dodać. Dodając Eq1 plus Eq2, otrzymujemy 3x = 3, z którego otrzymamy x = 1.

Obliczając x = 1 w równaniu 1, otrzymujemy, że 1 + y = 2, z czego wynika, że ​​y = 1.

Dlatego x = 1, y = 1 jest jedynym rozwiązaniem równoczesnych równań Eq1 i Eq2.

Ćwiczenie czwarte

Rozwiąż układ równoczesnych równań Eq1: 2x-3y = 8 i Eq2: 4x-3y = 12.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu nie jest wymagana żadna konkretna metoda, dlatego można zastosować metodę najwygodniejszą dla każdego czytelnika.

W takim przypadku zostanie zastosowana metoda redukcji. Mnożenie równania 1 przez -2 daje równanie Eq3: -4x + 6y = -16. Teraz dodając Eq3 i Eq2 otrzymujemy 3y = -4, a więc y = -4 / 3.

Teraz, oceniając y = -4 / 3 w równaniu 1, otrzymujemy 2x-3 (-4/3) = 8, skąd 2x + 4 = 8, a więc x = 2.

Podsumowując, jedynym rozwiązaniem układu równoczesnych równań Eq1 i Eq2 jest x = 2, y = -4 / 3.

Obserwacja

Metody opisane w tym artykule można zastosować do układów z więcej niż dwoma równoczesnymi równaniami.

Im więcej równań i im więcej niewiadomych, tym bardziej skomplikowana jest procedura rozwiązywania układu.

Każda metoda rozwiązywania układów równań przyniesie te same rozwiązania, to znaczy rozwiązania nie zależą od zastosowanej metody.

Bibliografia

1. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe.: Jak rozwiązywać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
5. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.