Nazywa się to względnie pierwszą ( względnie pierwszą lub względnie pierwszą względem siebie), ponieważ każda para liczb całkowitych nie ma wspólnego dzielnika innego niż 1.
Innymi słowy, dwie liczby całkowite są względnymi liczbami pierwszymi, jeśli w ich rozkładzie na liczby pierwsze nie mają żadnego wspólnego czynnika.
Na przykład, jeśli wybrano 4 i 25, pierwsze czynniki każdego z nich wynoszą odpowiednio 2² i 5². Jak widać, nie mają one żadnych wspólnych czynników, dlatego 4 i 25 to liczby pierwsze względne.
Z drugiej strony, jeśli wybierzemy 6 i 24, wykonując ich rozkład na czynniki pierwsze, otrzymamy, że 6 = 2 * 3 i 24 = 2³ * 3.
Jak widać, te dwa ostatnie wyrażenia mają co najmniej jeden wspólny czynnik, dlatego nie są liczbami pierwszymi względnymi.
Krewni kuzyni
Należy zachować ostrożność, mówiąc, że stwierdzenie, że para liczb całkowitych jest liczbami pierwszymi względnymi, nie oznacza, że którakolwiek z nich jest liczbą pierwszą.
Z drugiej strony powyższą definicję można podsumować w następujący sposób: dwie liczby całkowite „a” i „b” są względnymi liczbami pierwszymi wtedy i tylko wtedy, gdy największym wspólnym dzielnikiem z nich jest 1, to znaczy gcd ( a, b) = 1.
Dwa bezpośrednie wnioski z tej definicji są następujące:
-Jeśli „a” (lub „b”) jest liczbą pierwszą, to gcd (a, b) = 1.
-Jeśli „a” i „b” są liczbami pierwszymi, to gcd (a, b) = 1.
Oznacza to, że jeśli co najmniej jedna z wybranych liczb jest liczbą pierwszą, to bezpośrednio para liczb jest liczbami pierwszymi względnymi.
Inne funkcje
Inne wyniki używane do określenia, czy dwie liczby są względnymi liczbami pierwszymi, to:
-Jeśli dwie liczby całkowite są następujące po sobie, są względnymi liczbami pierwszymi.
-Dwie liczby naturalne "a" i "b" są liczbami pierwszymi względnymi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby "(2 ^ a) -1" i "(2 ^ b) -1" są liczbami pierwszymi względnymi.
-Dwie liczby całkowite „a” i „b” są względnymi liczbami pierwszymi wtedy i tylko wtedy, gdy wykreślając punkt (a, b) na płaszczyźnie kartezjańskiej i konstruując linię przechodzącą przez początek (0,0) i ( a, b), nie zawiera żadnego punktu o współrzędnych całkowitych.
Przykłady
1. - Rozważmy liczby całkowite 5 i 12. Rozkłady w czynnikach pierwszych obu liczb to odpowiednio: 5 i 2² * 3. Podsumowując, gcd (5,12) = 1, więc 5 i 12 są liczbami pierwszymi względnymi.
2.- Niech liczby -4 i 6. Następnie -4 = -2² i 6 = 2 * 3, tak aby LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Podsumowując, -4 i 6 nie są liczbami pierwszymi względnymi.
Jeśli przejdziemy do wykreślenia prostej przechodzącej przez uporządkowane pary (-4,6) i (0,0) oraz do określenia równania tej prostej, można zweryfikować, że przechodzi ona przez punkt (-2,3).
Ponownie stwierdza się, że -4 i 6 nie są liczbami pierwszymi względnymi.
3. - Liczby 7 i 44 są liczbami pierwszymi względnymi i można to szybko wywnioskować dzięki temu, co zostało powiedziane powyżej, ponieważ 7 jest liczbą pierwszą.
4.- Rozważmy liczby 345 i 346. Będąc dwiema kolejnymi liczbami, zweryfikowano, że gcd (345,346) = 1, więc 345 i 346 są liczbami pierwszymi względnymi.
5.- Jeśli weźmiemy pod uwagę liczby 147 i 74, to są to względne liczby pierwsze, ponieważ 147 = 3 * 7² i 74 = 2 * 37, więc LCD (147,74) = 1.
6.- Liczby 4 i 9 są względne pierwszymi. Aby to wykazać, można zastosować drugą wspomnianą powyżej charakterystykę. Rzeczywiście, 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 i 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Otrzymane liczby to 15 i 511. Pierwotne faktoryzacje tych liczb to odpowiednio 3 * 5 i 7 * 73, tak że LCD (15,511) = 1.
Jak widać, użycie drugiej charakterystyki jest dłuższą i bardziej pracochłonną pracą niż weryfikacja bezpośrednia.
7.- Rozważ liczby -22 i -27. Następnie liczby te można przepisać w następujący sposób: -22 = -2 * 11 i -27 = -3³. Dlatego gcd (-22, -27) = 1, więc -22 i -27 to liczby pierwsze względne.
Bibliografia
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Wprowadzenie do teorii liczb. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Elementy arytmetyczne. Biblioteka Wdów i Dzieci Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Podstawowy kurs teorii liczb. Uniwersytet Północny.
- Guevara, MH (nd). Zbiór liczb całkowitych. EUNED.
- Wyższy Instytut Kształcenia Nauczycieli (Hiszpania), JL (2004). Liczby, kształty i objętości w otoczeniu dziecka. Ministerstwo Edukacji.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matematyka praktyczna: arytmetyka, algebra, geometria, trygonometria i suwak logarytmiczny (przedruk red.). Przywróć.
- Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Edukacja Pearson.
- Szecsei, D. (2006). Podstawy matematyki i wstępnej algebry (ilustrowana red.). Kariera Prasa.
- Toral, C. i Preciado, M. (1985). II Kurs Matematyki. Redakcja Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A. i Colorado, H. (2010). Podstawowe zasady arytmetyki. ELIZCOM SAS