Te typy całek , które znajdziemy w rachunku są nieoznaczone Całki i Całka. Chociaż całki oznaczone mają znacznie więcej zastosowań niż całki nieoznaczone, należy najpierw nauczyć się rozwiązywać całki nieoznaczone.
Jednym z najbardziej atrakcyjnych zastosowań całek oznaczonych jest obliczanie objętości bryły obrotowej. Oba typy całek mają te same właściwości liniowości, a także techniki całkowania nie zależą od typu całki.
Solid of Revolution
Ale pomimo tego, że są bardzo podobne, istnieje jedna główna różnica; w pierwszym typie całki wynikiem jest funkcja (która nie jest określona), natomiast w drugim typie wynikiem jest liczba.
Podstawowe typy całek
Świat całek jest bardzo szeroki, ale można w nim wyróżnić dwa podstawowe typy całek, które mają duże zastosowanie w życiu codziennym.
1- Całki nieoznaczone
Jeśli F '(x) = f (x) dla wszystkich x w dziedzinie f, mówimy, że F (x) jest funkcją pierwotną, pierwotną lub całką f (x).
Z drugiej strony zauważmy, że (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), co oznacza, że całka funkcji nie jest unikalna, ponieważ podając różne wartości stałej C otrzymamy różne pierwotne.
Z tego powodu F (x) + C nazywamy całką nieokreśloną f (x), a C - stałą całkowania i piszemy to w następujący sposób
Całka nieokreślona
Jak widać, całka nieoznaczona funkcji f (x) jest rodziną funkcji.
Na przykład, jeśli chcesz znaleźć całkę nieoznaczoną funkcji f (x) = 3x², musisz najpierw znaleźć funkcję pierwotną funkcji f (x).
Łatwo zauważyć, że F (x) = x³ jest funkcją pierwotną, ponieważ F '(x) = 3x². Można więc stwierdzić, że
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Całki oznaczone
Niech y = f (x) będzie rzeczywistą, ciągłą funkcją w zamkniętym przedziale i niech F (x) będzie funkcją pierwotną funkcji f (x). Całka oznaczona f (x) między granicami a i b nazywa się liczbą F (b) -F (a) i jest oznaczona następująco
Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego
Wzór przedstawiony powyżej jest lepiej znany jako „Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego”. Tutaj „a” nazywa się dolną granicą, a „b” nazywa się górną granicą. Jak widać, całka oznaczona funkcji jest liczbą.
W tym przypadku, jeśli całka oznaczona f (x) = 3x² zostanie obliczona w przedziale, zostanie uzyskana liczba.
Aby określić tę liczbę, wybieramy F (x) = x³ jako funkcję pierwotną f (x) = 3x². Następnie obliczamy F (3) -F (0), co daje nam wynik 27-0 = 27. Podsumowując, całka oznaczona f (x) na przedziale wynosi 27.
Można zauważyć, że jeśli wybrano G (x) = x³ + 3, to G (x) jest funkcją pierwotną f (x) różną od F (x), ale nie ma to wpływu na wynik, ponieważ G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tego powodu stała całkowania nie pojawia się w całkach oznaczonych.
Jednym z najbardziej użytecznych zastosowań tego typu całki jest to, że pozwala obliczyć pole (objętość) figury płaskiej (bryły obrotowej), ustalając odpowiednie funkcje i granice całkowania (oraz oś obrotu).
W obrębie całek oznaczonych możemy znaleźć różne jej rozszerzenia, takie jak między innymi całki liniowe, całki powierzchniowe, całki niewłaściwe, całki wielokrotne, a wszystkie mają bardzo przydatne zastosowania w nauce i inżynierii.
Bibliografia
- Casteleiro, JM (2012). Czy łatwo jest się zintegrować? Podręcznik do samodzielnej nauki. Madryt: ESIC.
- Casteleiro, JM i Gómez-Álvarez, RP (2002). Rachunek całkowy (red. Ilustrowana). Madryt: ESIC Editorial.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus: podejście do rozwiązywania problemów (2, red. Ilustrowane). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Rachunek całkowy. Wydawcy i dystrybutorzy Atlantic.
- Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Calculus (wyd. Dziewiąte). Prentice Hall.