REDUKCJA PODOBNYCH TERMINÓW (Z ROZWIĄZANYMI ĆWICZENIAMI) - MATEMATYKA - 2025

Redukcja takich warunkach to metoda stosowana w celu uproszczenia wyrażeń algebraicznych. W wyrażeniu algebraicznym podobne terminy to te, które mają tę samą zmienną; to znaczy mają te same niewiadome reprezentowane przez literę, a te mają te same wykładniki.

W niektórych przypadkach wielomiany są rozległe i aby dojść do rozwiązania, należy spróbować zredukować wyrażenie; Jest to możliwe, gdy istnieją podobne terminy, które można łączyć, stosując operacje i właściwości algebraiczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Wyjaśnienie

Podobne terminy składają się z tych samych zmiennych z tymi samymi wykładnikami, aw niektórych przypadkach są one rozróżniane tylko na podstawie współczynników liczbowych.

Za podobne terminy uważa się również te, które nie mają zmiennych; to znaczy te terminy, które mają tylko stałe. Na przykład następujące terminy są podobne do terminów:

- 6x ² - 3x ² . Oba terminy mają tę samą zmienną x ² .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Oba terminy mają te same zmienne a ² b ³ .

- 7 - 6. Warunki są stałe.

Wyrażenia, które mają te same zmienne, ale różne wykładniki, nazywane są terminami niepodobnymi, na przykład:

- 9a ² b + 5ab. Zmienne mają różne wykładniki.

- 5x + y. Zmienne są różne.

- b - 8. Jeden wyraz ma zmienną, drugi jest stałą.

Identyfikując podobne wyrażenia tworzące wielomian, można je zredukować do jednego, łącząc wszystkie te, które mają te same zmienne z tymi samymi wykładnikami. W ten sposób wyrażenie zostaje uproszczone poprzez zmniejszenie liczby składających się na nie terminów oraz ułatwione jest obliczanie jego rozwiązania.

Jak zmniejszyć liczbę podobnych terminów?

Redukcja podobnych terminów odbywa się poprzez zastosowanie asocjacyjnej właściwości dodawania i dystrybucyjnej właściwości produktu. Stosując następującą procedurę, można dokonać redukcji terminu:

- Najpierw grupowane są podobne terminy.

- Współczynniki (liczby towarzyszące zmiennym) podobnych terminów są dodawane lub odejmowane, a w zależności od przypadku stosowane są właściwości asocjacyjne, przemienne lub dystrybucyjne.

- Następnie zapisuje się otrzymane nowe warunki, umieszczając przed nimi znak wynikający z operacji.

Przykład

Zmniejsz warunki następującego wyrażenia: 10x + 3y + 4x + 5y.

Rozwiązanie

Po pierwsze, terminy są uporządkowane, aby pogrupować te, które są podobne, stosując właściwość przemienną:

10x + 3 lata + 4x + 5 lat = 10x + 4x + 3 lata + 5 lat.

Następnie stosuje się właściwość rozdzielności i dodaje współczynniki towarzyszące zmiennym w celu uzyskania redukcji składników:

10x + 4x + 3 lata + 5 lat

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8 lat.

Aby zredukować podobne terminy, ważne jest, aby wziąć pod uwagę znaki współczynników, które towarzyszą zmiennej. Istnieją trzy możliwe przypadki:

Redukcja podobnych terminów ze znakami równości

W takim przypadku współczynniki są dodawane, a znak terminów jest umieszczany przed wynikiem. Dlatego też, jeśli są pozytywne, otrzymane warunki będą pozytywne; w przypadku, gdy warunki są ujemne, wynikowi będzie towarzyszył znak (-) ze zmienną. Na przykład:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Redukcja podobnych terminów c

W takim przypadku współczynniki są odejmowane, a przed wynikiem umieszczany jest znak największego współczynnika. Na przykład:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ^{2 lata} + 6x ^{2 lata} ) + (- 4x ^{2 lata} - 11x ^{2 lata} )

= 21 x ^{2 lata} + (-15 x ^{2 lata} )

= 21x ² r - 15x ² r

= 6x ² i.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= Od -5 do ³ b.

W ten sposób, aby zredukować podobne terminy, które mają różne znaki, tworzony jest pojedynczy składnik addytywny ze wszystkimi, które mają znak dodatni (+), współczynniki są dodawane, a wynikowi towarzyszą zmienne.

W ten sam sposób tworzony jest człon odejmowany, przy czym wszystkie te wyrażenia mają znak ujemny (-), współczynniki są dodawane, a wynikowi towarzyszą zmienne.

Na koniec sumy dwóch utworzonych wyrazów są odejmowane, a na wyniku umieszczany jest znak większego.

Redukcja podobnych terminów w operacjach

Redukcja podobnych terminów jest operacją algebry, którą można zastosować dodatkowo, odejmowanie, mnożenie i dzielenie algebraiczne.

W sumie

Gdy masz kilka wielomianów z podobnymi wyrażeniami, aby je zredukować, wyrazy każdego wielomianu są uporządkowane z zachowaniem ich znaków, a następnie są zapisywane jeden po drugim, a podobne wyrażenia są redukowane. Na przykład mamy następujące wielomiany:

3x - 4xy + 7x ² i + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

W odejmowaniu

Aby odjąć jeden wielomian od drugiego, zapisuje się odjemnik, a następnie zmienia się odjemnik ze znakami, a następnie wykonuje się redukcję podobnych składników. Na przykład:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Zatem wielomiany są podsumowane jako 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

W mnożeniu

W iloczynu wielomianów wyrazy tworzące mnożnik są mnożone przez każdy wyraz składający się na mnożnik, biorąc pod uwagę, że znaki mnożenia pozostają takie same, jeśli są dodatnie.

Zostaną zmienione tylko wtedy, gdy zostaną pomnożone przez wartość ujemną; to znaczy, gdy pomnożymy dwa wyrazy tego samego znaku, wynik będzie dodatni (+), a gdy mają różne znaki, wynik będzie ujemny (-).

Na przykład:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

W podziałach

Jeśli chcesz zredukować dwa wielomiany przez dzielenie, musisz znaleźć trzeci wielomian, który po pomnożeniu przez drugi (dzielnik) daje pierwszy wielomian (dywidendę).

W tym celu warunki dywidendy i dzielnika muszą być uporządkowane od lewej do prawej, tak aby zmienne w obu były w tej samej kolejności.

Następnie dokonuje się podziału, zaczynając od pierwszego członu po lewej stronie dywidendy przez pierwszy człon po lewej stronie dzielnika, zawsze uwzględniając znaki każdego członu.

Na przykład zmniejsz wielomian: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² i ² + 4xy ³ - 15 lat ^4, dzieląc go przez wielomian: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Wynikowy wielomian to -2x ² + 8xy - 5y ² .

Rozwiązane ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Zmniejsz warunki podanego wyrażenia algebraicznego:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Rozwiązanie

Stosowana jest przemienna właściwość dodawania, grupując terminy, które mają te same zmienne:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Następnie stosuje się rozdzielczą właściwość mnożenia:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Na koniec upraszcza się je, dodając i odejmując współczynniki każdego terminu:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Drugie ćwiczenie

Uprość iloczyn następujących wielomianów:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Rozwiązanie

Każdy wyraz pierwszego wielomianu jest mnożony przez drugi, biorąc pod uwagę, że znaki wyrazów są różne; dlatego wynik jego pomnożenia będzie ujemny, a także należy zastosować prawa wykładników.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Bibliografia

1. Anioł, AR (2007). Algebra elementarna. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. Hawana: Kultura.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementarna i średniozaawansowana: podejście łączone. Floryda: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Algebra. Edukacja Pearson.
5. Czuwanie, C. (2015). Algebra i jej zastosowania.