SYSTEM ÓSEMKOWY: HISTORIA, SYSTEM NUMERACJI, KONWERSJE - MATEMATYKA - 2026

System ósemkowy jest systemem numeracji pozycyjnej o podstawie ósemki (8); to znaczy składa się z ośmiu cyfr, którymi są: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Dlatego każda cyfra liczby ósemkowej może mieć dowolną wartość od 0 do 7. Liczby ósemkowe są utworzone z liczb binarnych.

Dzieje się tak, ponieważ jego podstawą jest dokładna potęga dwóch (2). Oznacza to, że liczby należące do systemu ósemkowego powstają, gdy są pogrupowane w trzy kolejne cyfry, uporządkowane od prawej do lewej, uzyskując w ten sposób ich wartość dziesiętną.

Historia

System ósemkowy ma swój początek w starożytności, kiedy ludzie używali rąk do liczenia zwierząt od ośmiu do ośmiu.

Na przykład, aby policzyć krowy w stajni, zaczęto liczyć prawą ręką, łącząc kciuk z małym palcem; Następnie, aby policzyć drugie zwierzę, łączono kciuk z palcem wskazującym i tak dalej z pozostałymi palcami każdej dłoni, aż do ukończenia 8.

Istnieje możliwość, że w starożytności system liczb ósemkowych był używany przed dziesiętnym, aby móc liczyć spacje międzycyfrowe; to znaczy policz wszystkie palce oprócz kciuków.

Później powstał ósemkowy system liczbowy, który wywodzi się z systemu binarnego, ponieważ wymaga wielu cyfr, aby reprezentować tylko jedną liczbę; od tego czasu powstały systemy ósemkowe i heksagonalne, które nie wymagają tak wielu cyfr i można je łatwo przekonwertować na system dwójkowy.

System liczb ósemkowych

System ósemkowy składa się z ośmiu cyfr od 0 do 7. Mają one taką samą wartość jak w systemie dziesiętnym, ale ich względna wartość zmienia się w zależności od zajmowanej pozycji. Wartość każdej pozycji jest określona potęgami podstawy 8.

Pozycje cyfr w liczbie ósemkowej mają następujące wagi:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , ósemkowy punkt 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Największa cyfra ósemkowa to 7; tak więc podczas zliczania w tym systemie pozycja cyfry jest zwiększana od 0 do 7. Gdy osiągnięta zostanie 7, jest ona przetwarzana ponownie do 0 dla następnego zliczania; w ten sposób zwiększa się kolejna pozycja cyfry. Na przykład, aby policzyć sekwencje, w systemie ósemkowym będzie to:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Istnieje fundamentalne twierdzenie, które odnosi się do systemu ósemkowego i jest wyrażone w następujący sposób:

W tym wyrażeniu di reprezentuje cyfrę pomnożoną przez potęgę podstawy 8, która wskazuje wartość miejsca każdej cyfry, w taki sam sposób, w jaki jest uporządkowana w systemie dziesiętnym.

Na przykład masz numer 543,2. Aby przenieść to do systemu ósemkowego, rozkłada się w następujący sposób:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Zatem mamy 543,2 _q = 354,25 _d . Indeks dolny q wskazuje, że jest to liczba ósemkowa, którą można również przedstawić za pomocą liczby 8; a indeks dolny d odnosi się do liczby dziesiętnej, którą można również przedstawić jako liczbę 10.

Konwersja z systemu ósemkowego na dziesiętny

Aby przekonwertować liczbę z systemu ósemkowego na jej odpowiednik w systemie dziesiętnym, po prostu pomnóż każdą cyfrę ósemkową przez wartość miejsca, zaczynając od prawej strony.

Przykład 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Przykład 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Konwersja z systemu dziesiętnego na ósemkowy

Liczbę dziesiętną można przekonwertować na liczbę ósemkową przy użyciu metody powtarzania dzielenia, w której liczba dziesiętna jest dzielona przez 8, aż iloraz będzie równy 0, a reszta z każdego dzielenia będzie reprezentować liczbę ósemkową.

Reszty są uporządkowane od ostatniego do pierwszego; to znaczy, pierwsza reszta będzie najmniej znaczącą cyfrą liczby ósemkowej. W ten sposób najbardziej znacząca cyfra będzie ostatnią resztą.

Przykład

Liczba dziesiętna ósemkowa 266 ₁₀

- Podzielić liczbę dziesiętną 266 przez 8 = 266/8 = 33 + reszta z 2.

- Następnie podziel 33 przez 8 = 33/8 = 4 + reszta z 1.

- Podziel 4 przez 8 = 4/8 = 0 + reszta z 4.

Podobnie jak w przypadku ostatniego dzielenia otrzymujemy iloraz mniejszy niż 1, oznacza to, że wynik został znaleziony; Wystarczy, że resztę uporządkujesz odwrotnie, w taki sposób, aby liczba ósemkowa po przecinku 266 wynosiła 412, jak widać na poniższym obrazku:

Konwersja z systemu ósemkowego do binarnego

Konwersja z ósemkowej na dwójkową odbywa się poprzez konwersję cyfry ósemkowej na jej równoważną cyfrę binarną, składającą się z trzech cyfr. Istnieje tabela, która pokazuje, jak konwertowane są osiem możliwych cyfr:

Z tych konwersji dowolną liczbę z systemu ósemkowego na dwójkowy można zmienić, na przykład, aby przekonwertować liczbę 572 _8, szukamy jej odpowiedników w tabeli. Dlatego musisz:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Dlatego 572 _{8 jest} równoważne w systemie binarnym 10111110.

Konwersja z dwójkowego na ósemkowy

Proces konwersji binarnych liczb całkowitych na ósemkowe liczby całkowite jest odwrotnością poprzedniego procesu.

Oznacza to, że bity liczby binarnej są pogrupowane w dwie grupy po trzy bity, zaczynając od prawej do lewej. Następnie konwersja z formatu dwójkowego na ósemkowy jest wykonywana zgodnie z powyższą tabelą.

W niektórych przypadkach liczba binarna nie będzie miała grup po 3 bity; aby ją zakończyć, po lewej stronie pierwszej grupy dodaje się jedno lub dwa zera.

Na przykład, aby zmienić liczbę binarną 11010110 na ósemkową, wykonaj następujące czynności:

- Grupy po 3 bity są tworzone począwszy od prawej strony (ostatni bit):

11010110

- Ponieważ pierwsza grupa jest niekompletna, dodaje się wiodące zero:

011010110

- Konwersja jest wykonywana z tabeli:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Zatem liczba binarna 011010110 jest równa 326 ₈ .

Konwersja z ósemkowej na szesnastkową i odwrotnie

Aby zmienić liczbę ósemkową na szesnastkową lub szesnastkową na ósemkową, konieczne jest najpierw przekonwertowanie liczby na dwójkową, a następnie na żądany system.

W tym celu istnieje tabela, w której każda cyfra szesnastkowa jest reprezentowana z jej odpowiednikiem w systemie binarnym, składającym się z czterech cyfr.

W niektórych przypadkach liczba binarna nie będzie miała grup po 4 bity; aby ją zakończyć, po lewej stronie pierwszej grupy dodaje się jedno lub dwa zera

Przykład

Konwertuj liczbę ósemkową 1646 na liczbę szesnastkową:

- Konwertuj liczbę z ósemkowej na dwójkową

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- A więc 1646 ₈ = 1110100110.

- Aby przekonwertować z binarnego na szesnastkowy, są one najpierw uporządkowane w grupie 4 bitów, zaczynając od prawej do lewej:

11 1010 0110

- Pierwsza grupa jest uzupełniona zerami, więc może mieć 4 bity:

0011 1010 0110

- Konwersja z binarnego na szesnastkowy jest zakończona. Ekwiwalenty zastępuje się tabelą:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Zatem liczba ósemkowa 1646 równa się 3A6 w systemie szesnastkowym.

Bibliografia

1. Bressan, AE (1995). Wprowadzenie do systemów numeracji. Argentyński Uniwersytet Firmy.
2. Harris, JN (1957). Wprowadzenie do systemów numeracji binarnej i ósemkowej: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Podstawy układów cyfrowych. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Pojedyncze systemy operacyjne.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Systemy cyfrowe: zasady i zastosowania. Edukacja Pearson.