SEKWENCJE KWADRATOWE: PRZYKŁADY, REGUŁY I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Te kwadratowe spadkowe , w kategoriach matematycznych, składają się z sekwencji liczb, które następują pewne reguły arytmetyki. Warto znać tę regułę, aby określić dowolny z warunków sekwencji.

Jednym ze sposobów jest określenie różnicy między dwoma kolejnymi wyrazami i sprawdzenie, czy uzyskana wartość jest zawsze powtarzana. W takim przypadku mówi się, że jest to regularna sekwencja.

Sekwencje liczb są sposobem organizowania sekwencji liczb. Źródło: pixabay.com

Ale jeśli się nie powtórzy, możesz spróbować zbadać różnicę między różnicami i sprawdzić, czy ta wartość jest stała. Jeśli tak, to jest to ciąg kwadratowy .

Przykłady ciągów regularnych i kwadratowych

Poniższe przykłady pomagają wyjaśnić, co zostało wyjaśnione do tej pory:

Przykład regularnej sukcesji

Niech sekwencja S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Sekwencja ta, oznaczona przez S, jest zbiorem nieskończonej liczby, w tym przypadku liczb całkowitych.

Widać, że jest to ciąg regularny, ponieważ każdy termin uzyskuje się przez dodanie 3 do poprzedniego terminu lub elementu:

4

4 + 3 = 7

7 + 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Innymi słowy: ta sekwencja jest regularna, ponieważ różnica między następnym a poprzednim członem daje stałą wartość. W podanym przykładzie ta wartość wynosi 3.

Regularne sekwencje, które uzyskuje się przez dodanie określonej ilości do poprzedniego terminu, nazywane są również postępami arytmetycznymi. A różnica - stała - między kolejnymi wyrazami nazywana jest stosunkiem i oznaczana jest jako R.

Przykład sekwencji nieregularnej i kwadratowej

Zobacz teraz następującą sekwencję:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Przy obliczaniu kolejnych różnic uzyskuje się następujące wartości:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Ich różnice nie są stałe, więc można powiedzieć, że NIE jest to regularna sekwencja.

Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę zbiór różnic, mamy inny ciąg, który zostanie oznaczony jako S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Ta nowa sekwencja jest rzeczywiście ciągiem regularnym, ponieważ każdy wyraz jest uzyskiwany przez dodanie ustalonej wartości R = 2 do poprzedniego. Dlatego możemy stwierdzić, że S jest ciągiem kwadratowym.

Ogólna reguła konstruowania ciągu kwadratowego

Istnieje ogólny wzór do skonstruowania ciągu kwadratowego:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

W tym wzorze T _n jest terminem na pozycji n ciągu. A, B i C są wartościami stałymi, podczas gdy n zmienia się jedna po drugiej, to znaczy 1, 2, 3, 4, …

W sekwencji S z poprzedniego przykładu A = 1, B = 1 i C = 0. Z tego wynika, że ​​formuła, która generuje wszystkie wyrazy, to: T _n = n ² + n

To jest do powiedzenia:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu kwadratowego

T _{n + 1} - T _n = -

Rozwijanie ekspresji poprzez niezwykły produkt pozostaje:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Upraszczając, otrzymujesz:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

To jest wzór, który podaje sekwencję różnic S _Dif, które można zapisać w ten sposób:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Gdzie wyraźnie następny termin to 2 ∙ Czasami poprzedni. Oznacza to, że stosunek ciągu różnic S _diff wynosi: R = 2 ∙ A.

Rozwiązane problemy ciągów kwadratowych

Ćwiczenie 1

Niech sekwencja S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Określ, czy:

i) Czy to jest regularne, czy nie

ii) Czy jest kwadratowy, czy nie

iii) To było kwadratowe, sekwencja różnic i ich stosunek

Odpowiedzi

i) Obliczmy różnicę między następującymi a poprzednimi terminami:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Możemy stwierdzić, że ciąg S nie jest regularny, ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami nie jest stała.

ii) Sekwencja różnic jest regularna, ponieważ różnica między jej wyrazami ma wartość stałą 2. Dlatego pierwotna sekwencja S jest kwadratowa.

iii) Ustaliliśmy już, że S jest kwadratowe, kolejność różnic jest następująca:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…}, a jego stosunek wynosi R = 2.

Ćwiczenie 2

Niech sekwencja S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} z poprzedniego przykładu, gdzie zweryfikowano, że jest kwadratowa. Określać:

i) Wzór określający ogólny termin T _n.

ii) Sprawdź trzeci i piąty warunek.

iii) Wartość dziesiątego terminu.

Odpowiedzi

i) Ogólny wzór T _n to A ∙ n ² + B ∙ n + C. Pozostaje znać wartości A, B i C.

Sekwencja różnic ma stosunek 2. Ponadto dla dowolnej sekwencji kwadratowej stosunek R wynosi 2 ∙ A, jak pokazano w poprzednich sekcjach.

R = 2 ∙ A = 2, co prowadzi nas do wniosku, że A = 1.

Pierwszy wyraz ciągu różnic S _Dif wynosi 2 i musi spełniać A ∙ (2n + 1) + B, przy n = 1 i A = 1, czyli:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

rozwiązując B otrzymujemy: B = -1

Wtedy pierwszy wyraz S (n = 1) jest wart 1, to znaczy: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C.Jak już wiemy, że A = 1 i B = -1, podstawiając otrzymujemy:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Rozwiązując C otrzymujemy jego wartość: C = 1.

W podsumowaniu:

A = 1, B = -1 i C = 1

Wtedy n-ty wyraz będzie wynosił T _n = n ² - n + 1

ii) Trzeci człon T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 i jest weryfikowany. Piąte T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, które również jest weryfikowane.

iii) Dziesiąty składnik to T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Ćwiczenie 3

Kolejność obszarów do ćwiczenia 3. Źródło: opracowanie własne.

Rysunek przedstawia sekwencję pięciu cyfr. Krata reprezentuje jednostkę długości.

i) Określić kolejność dla obszaru figur.

ii) Pokaż, że jest to ciąg kwadratowy.

iii) Znajdź obszar z rysunku # 10 (niepokazany).

Odpowiedzi

i) Sekwencja S odpowiadająca obszarowi ciągu figur to:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Sekwencja odpowiadająca kolejnym różnicom terminów S jest następująca:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami nie jest stała, to S nie jest ciągiem regularnym. Pozostaje wiedzieć, czy jest kwadratowy, dla którego ponownie wykonujemy sekwencję różnic, uzyskując:

{2, 2, 2, …….}

Ponieważ wszystkie terminy sekwencji się powtarzają, potwierdza się, że S jest sekwencją kwadratową.

iii) Ciąg S _dif jest regularny, a jego stosunek R wynosi 2. Korzystając z równania przedstawionego powyżej R = 2 ∙ A, pozostaje:

2 = 2 ∙ A, co oznacza, że ​​A = 1.

Drugi człon ciągu różnic S _Dif to 4, a n-ty _człon S _Dif to

A ∙ (2n + 1) + B.

Drugi człon ma n = 2. Ponadto ustalono już, że A = 1, więc korzystając z poprzedniego równania i podstawiając, mamy:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Rozwiązując B, otrzymujemy: B = -1.

Wiadomo, że drugi człon S jest wart 2 i że musi spełniać formułę terminu ogólnego przy n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

To jest do powiedzenia

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Wynika z tego, że C = 0, to znaczy, że wzór, który daje ogólny wyraz ciągu S, to:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Teraz zweryfikowano piąty termin:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Rysunek nr 10, który nie został tutaj narysowany, będzie miał obszar odpowiadający dziesiątemu członowi ciągu S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Bibliografia

1. https://www.geogebra.org