Aby dowiedzieć się, jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb , można znaleźć formułę, za pomocą której wystarczy podstawić tylko liczby, aby uzyskać wynik.
Formułę tę można znaleźć w sposób ogólny, to znaczy można ją zastosować do dowolnej pary kolejnych liczb.
Mówiąc „kolejne liczby”, pośrednio mówisz, że obie liczby są liczbami całkowitymi. A przez „kwadraty” odnosi się do kwadratu każdej liczby.
Na przykład, jeśli rozważymy liczby 1 i 2, ich kwadraty wynoszą 1² = 1 i 2² = 4, a zatem suma kwadratów wynosi 1 + 4 = 5.
Z drugiej strony, jeśli weźmiemy liczby 5 i 6, ich kwadraty wynoszą 5² = 25 i 6² = 36, przy czym suma kwadratów wynosi 25 + 36 = 61.
Jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb?
Celem jest teraz uogólnienie tego, co zostało zrobione w poprzednich przykładach. Aby to zrobić, konieczne jest znalezienie ogólnego sposobu zapisywania liczby całkowitej i jej kolejnej liczby całkowitej.
Jeśli spojrzysz na dwie kolejne liczby całkowite, na przykład 1 i 2, zobaczysz, że 2 można zapisać jako 1 + 1. Ponadto, jeśli obserwuje się liczby 23 i 24, stwierdza się, że 24 można zapisać jako 23 + 1.
W przypadku ujemnych liczb całkowitych można również zweryfikować to zachowanie. Rzeczywiście, biorąc pod uwagę -35 i -36, można zauważyć, że -35 = -36 + 1.
Dlatego też, jeśli zostanie wybrana dowolna liczba całkowita „n”, liczba całkowita następująca po „n” to „n + 1”. Zatem związek między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi został już ustalony.
Jaka jest suma kwadratów?
Biorąc pod uwagę dwie kolejne liczby całkowite „n” i „n + 1”, ich kwadraty to „n²” i „(n + 1) ²”. Korzystając z właściwości znanych produktów, ten ostatni termin można zapisać w następujący sposób:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Ostatecznie sumę kwadratów dwóch kolejnych liczb podaje wyrażenie:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Jeśli poprzednia formuła jest szczegółowa, widać, że wystarczy znać najmniejszą liczbę całkowitą „n”, aby wiedzieć, jaka jest suma kwadratów, to znaczy wystarczy użyć najmniejszej z dwóch liczb całkowitych.
Z innej perspektywy otrzymanego wzoru: wybrane liczby są mnożone, następnie otrzymany wynik mnoży się przez 2 i na koniec dodaje się 1.
Z drugiej strony, pierwszy dodatek po prawej stronie jest liczbą parzystą, a dodanie 1 da wynik nieparzysty. Oznacza to, że wynik dodania kwadratów dwóch kolejnych liczb zawsze będzie liczbą nieparzystą.
Można również zauważyć, że skoro dodawane są dwie liczby do kwadratu, wynik ten zawsze będzie dodatni.
Przykłady
1. - Rozważmy liczby całkowite 1 i 2. Najmniejszą liczbą całkowitą jest 1. Używając poprzedniego wzoru, można wyciągnąć wniosek, że suma kwadratów to: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Co zgadza się z obliczeniami wykonanymi na początku.
2.- Jeśli weźmie się liczby całkowite 5 i 6, to suma kwadratów wyniesie 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, co również pokrywa się z wynikiem uzyskanym na początku.
3. - Jeśli wybrano liczby całkowite -10 i -9, to suma ich kwadratów wynosi: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4. - Niech liczby całkowite w tej możliwości wynoszą -1 i 0, a suma ich kwadratów jest dana przez 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Bibliografia
- Bouzas, PG (2004). Algebra w liceum: Współpraca w matematyce. Edycje Narcea.
- Cabello, RN (2007). Uprawnienia i korzenie. Opublikuj swoje książki.
- Cabrera, VM (1997). Obliczenie 4000. Od redakcji Progreso.
- Guevara, MH (nd). Zbiór liczb całkowitych. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Edukacja Pearson.
- Smith, SA (2000). Algebra. Edukacja Pearson.
- Thomson. (2006). Zdanie GED: Matematyka. Wydawnictwo InterLingua.