- Formuły i właściwości
- Obszar pod krzywą
- Rozwiązane ćwiczenia
- - Ćwiczenie 1
- Rozwiązanie
- - Ćwiczenie 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Sumy Riemanna jest nazwą przybliżonej obliczenie całki za pomocą dyskretnej sumowania ze skończonej liczby terminów. Typowym zastosowaniem jest przybliżenie obszaru funkcji na wykresie.
To niemiecki matematyk Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) jako pierwszy zaproponował rygorystyczną definicję całki funkcji w zadanym przedziale. Poinformował o tym w artykule opublikowanym w 1854 roku.
Rysunek 1. Suma Riemanna jest zdefiniowana na funkcji fi na podziale w przedziale. Źródło: Fanny Zapata.
Suma Riemanna jest zdefiniowana na funkcji y = f (x), gdzie x należy do przedziału zamkniętego. W tym przedziale tworzony jest podział P z n elementów:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Oznacza to, że przedział jest podzielony w następujący sposób:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Rysunek 1 przedstawia graficznie sumę Riemanna funkcji f w przedziale na podziale czterech podprzedziałów, szarych prostokątów.
Suma reprezentuje całkowitą powierzchnię prostokątów, a wynik tej sumy liczbowo przybliża pole powierzchni pod krzywą f, między odciętymi x = x 0 i x = x 4 .
Oczywiście przybliżenie obszaru pod krzywą znacznie się poprawia, gdy liczba n przegród jest większa. W ten sposób suma zbiega się do obszaru pod krzywą, gdy liczba n przegród dąży do nieskończoności.
Formuły i właściwości
Suma Riemanna funkcji f (x) na partycji:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Zdefiniowany w przedziale, jest określony przez:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Gdzie t k jest wartością z przedziału. W sumie Riemanna stosuje się zwykle regularne przedziały szerokości Δx = (b - a) / n, gdzie a i b to minimalne i maksymalne wartości odciętych, a n to liczba podpodziałów.
W takim przypadku właściwa suma Riemanna to:
Sd (f, n) = * Δx
Rysunek 2. Prawidłowa suma Riemanna. Źródło: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Podczas gdy pozostała suma Riemanna jest wyrażona jako:
Jeśli (f, n) = * Δx
Rysunek 3. Lewa suma Riemanna. Źródło: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Wreszcie centralna suma Riemanna to:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Rysunek 4. Pośrednia suma Riemanna. Źródło: Wikimedia Commons. 09glasgow09
W zależności od tego, gdzie punkt t k znajduje się w przedziale, suma Riemanna może zawyżać lub zaniżać dokładną wartość pola powierzchni pod krzywą funkcji y = f (x). Innymi słowy, prostokąty mogą wystawać z krzywej lub znajdować się nieco poniżej niej.
Obszar pod krzywą
Główną własnością sumy Riemanna, z której wynika jej znaczenie, jest to, że jeśli liczba podpodziałów dąży do nieskończoności, wynik sumy jest zbieżny do całki oznaczonej funkcji:
Rozwiązane ćwiczenia
- Ćwiczenie 1
Oblicz wartość całki oznaczonej między a = -2 do b = +2 funkcji:
f (x) = x 2
Wykorzystaj sumę Riemanna. Aby to zrobić, najpierw znajdź sumę dla n regularnych partycji przedziału, a następnie weź matematyczną granicę dla przypadku, gdy liczba partycji dąży do nieskończoności.
Rozwiązanie
Oto kroki, które należy wykonać:
-Po pierwsze, przedział podziału jest zdefiniowany jako:
Δx = (b - a) / n.
-Wtedy suma Riemanna po prawej stronie odpowiadająca funkcji f (x) wygląda następująco:
-A następnie jest ostrożnie podstawiany w sumowaniu:
-Następnym krokiem jest rozdzielenie sum i przyjęcie stałych wielkości jako wspólnego współczynnika każdej sumy. Należy wziąć pod uwagę, że indeks to i, dlatego liczby i wyrazy z n są uważane za stałe:
-Każda suma jest obliczana, ponieważ dla każdego z nich są odpowiednie wyrażenia. Na przykład pierwsza z sum daje n:
-W końcu obliczona całka to:
Czytelnik może sprawdzić, czy jest to dokładny wynik, który można uzyskać rozwiązując całkę nieoznaczoną i oceniając granice całkowania według reguły Barrowa.
- Ćwiczenie 2
W przybliżeniu określ obszar pod funkcją:
F (x) = (1 / √ (2π)) e (X 2 /2)
Wprowadź x = -1 i x = + 1, używając centralnej sumy Riemanna z 10 partycjami. Porównaj z dokładnym wynikiem i oszacuj procentową różnicę.
Rozwiązanie
Krok lub przyrost między dwiema kolejnymi wartościami dyskretnymi to:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
A więc partycja P, na której zdefiniowano prostokąty, wygląda następująco:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}
Ale ponieważ potrzebna jest suma centralna, funkcja f (x) zostanie obliczona w środkowych punktach podprzedziałów, czyli w zbiorze:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
(Centralna) suma Riemanna wygląda następująco:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Ponieważ funkcja f jest symetryczna, można zredukować sumę tylko do 5 członów, a wynik pomnożony przez dwa:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Funkcja podana w tym przykładzie to nic innego jak dobrze znany dzwonek Gaussa (znormalizowany, ze średnią równą zero i odchyleniem standardowym jeden). Powierzchnia pod krzywą w przedziale dla tej funkcji wynosi 0,6827.
Rysunek 5. Powierzchnia pod dzwonem Gaussa przybliżona sumą Riemanna. Źródło: F. Zapata.
Oznacza to, że przybliżone rozwiązanie zawierające tylko 10 terminów odpowiada dokładnemu rozwiązaniu z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Procentowy błąd między przybliżoną a dokładną całką wynosi 0,07%.
Bibliografia
- Casteleiro, JM i Gómez-Álvarez, RP (2002). Rachunek całkowy (red. Ilustrowana). Madryt: ESIC Editorial.
- Unican. Historia pojęcia całki. Odzyskany z: repositorio.unican.es
- UIS. Sumy Riemanna. Odzyskany z: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Suma Riemanna. Odzyskany z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Integracja Riemanna. Odzyskany z: es.wikipedia.com