Twierdzenie Bernoulliego , który opisuje zachowanie płynu w ruchu, została sformułowana przez matematycznej i fizycznej Daniel Bernoulli w swojej pracy Hydrodynamiki. Zgodnie z zasadą idealny płyn (bez tarcia i lepkości) krążący w zamkniętym przewodzie będzie miał na swojej drodze stałą energię.
Twierdzenie można wywnioskować z zasady zachowania energii, a nawet z drugiej zasady dynamiki Newtona. Ponadto zasada Bernoulliego stwierdza również, że wzrost prędkości płynu oznacza spadek ciśnienia, któremu jest on poddawany, spadek jego energii potencjalnej lub oba te zjawiska jednocześnie.
Daniel Bernoulli
Twierdzenie to ma wiele różnych zastosowań, zarówno w świecie nauki, jak iw życiu codziennym ludzi.
Jego konsekwencje są obecne m.in. w sile nośnej samolotów, w kominach domów i zakładów przemysłowych, w rurach wodociągowych, między innymi.
Równanie Bernoulliego
Chociaż Bernoulli był tym, który wywnioskował, że ciśnienie spada wraz ze wzrostem natężenia przepływu, prawda jest taka, że to Leonhard Euler faktycznie opracował równanie Bernoulliego w postaci, w jakiej jest ono znane dzisiaj.
W każdym razie równanie Bernoulliego, które jest niczym innym jak matematycznym wyrażeniem jego twierdzenia, jest następujące:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = stała
W tym wyrażeniu v to prędkość płynu w rozpatrywanym odcinku, ƿ to gęstość płynu, P to ciśnienie płynu, g to wartość przyspieszenia ziemskiego, a z to wysokość zmierzona w kierunku grawitacji.
Z równania Bernoulliego wynika, że energia płynu składa się z trzech składników:
- Składnik kinetyczny, czyli ten wynikający z prędkości, z jaką porusza się płyn.
- Składnik potencjalny lub grawitacyjny, który wynika z wysokości, na której znajduje się płyn.
- Energia ciśnienia, czyli taka, jaką posiada płyn w wyniku ciśnienia, któremu jest poddany.
Z drugiej strony równanie Bernoulliego można również wyrazić w ten sposób:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
To ostatnie wyrażenie jest bardzo praktyczne do analizowania zmian, jakich doświadcza płyn, gdy zmienia się którykolwiek z elementów tworzących równanie.
Uproszczona forma
W niektórych przypadkach zmiana terminu ρgz równania Bernoulliego jest minimalna w porównaniu z tą, której doświadczają inne terminy, więc można ją pominąć. Na przykład dzieje się tak w przypadku prądów odczuwanych przez samolot w locie.
W takich przypadkach równanie Bernoulliego wyraża się następująco:
P + q = P 0
W tym wyrażeniu q jest ciśnieniem dynamicznym i jest równoważne v 2 ∙ ƿ / 2, a P 0 jest tak zwanym ciśnieniem całkowitym i jest sumą ciśnienia statycznego P i ciśnienia dynamicznego q.
Aplikacje
Twierdzenie Bernoulliego ma wiele i różnorodnych zastosowań w tak różnych dziedzinach, jak nauka, inżynieria, sport itp.
Ciekawe zastosowanie znajduje się w projektowaniu kominków. Kominy budowane są wysoko w celu uzyskania większej różnicy ciśnień pomiędzy podstawą a wylotem komina, dzięki czemu łatwiej jest odprowadzić spaliny.
Oczywiście równanie Bernoulliego ma również zastosowanie do badania ruchu przepływów cieczy w rurach. Z równania wynika, że zmniejszenie pola przekroju poprzecznego rury w celu zwiększenia prędkości przepływającego przez nią płynu pociąga za sobą również spadek ciśnienia.
Równanie Bernoulliego jest również używane w lotnictwie i pojazdach Formuły 1. W przypadku lotnictwa efekt Bernoulliego jest źródłem siły nośnej samolotów.
Skrzydła samolotu są zaprojektowane w celu uzyskania większego przepływu powietrza w górnej części skrzydła.
Tak więc w górnej części skrzydła prędkość powietrza jest duża, a zatem ciśnienie jest niższe. Ta różnica ciśnień wytwarza siłę skierowaną pionowo w górę (siłę nośną), która pozwala statkowi powietrznemu pozostać w powietrzu. Podobny efekt uzyskuje się na lotkach bolidów Formuły 1.
Ćwiczenie rozwiązane
Strumień wody przepływa z prędkością 5,18 m / s przez rurę o przekroju 4,2 cm 2 . Woda opada z wysokości 9,66 m na niższy poziom z zerową wysokością, a pole przekroju poprzecznego rurki wzrasta do 7,6 cm 2 .
a) Oblicz prędkość prądu wody na dolnym poziomie.
b) Określić ciśnienie na dolnym poziomie, wiedząc, że ciśnienie na górnym poziomie wynosi 152000 Pa.
Rozwiązanie
a) Biorąc pod uwagę, że przepływ musi być zachowany, prawdą jest, że:
Q wyższy poziom = Q niższy poziom
wer . 1 . S 1 = v 2 . S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2 . 7,6 cm ^ 2
Rozwiązując, otrzymujemy, że:
v 2 = 2,86 m / s
b) Stosując twierdzenie Bernoulliego między dwoma poziomami i biorąc pod uwagę, że gęstość wody wynosi 1000 kg / m 3 , otrzymujemy, że:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3 . (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3 . (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 0 m
Rozwiązując P 2 otrzymujemy:
P 2 = 257926,4 Pa
Bibliografia
- Zasada Bernoulliego. (nd). Na Wikipedii. Pobrane 12 maja 2018 r. Z es.wikipedia.org.
- Zasada Bernoulliego. (nd). W Wikipedii. Pobrane 12 maja 2018 r. Z en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Wprowadzenie do dynamiki płynów. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Applied Fluid Mechanics (4th ed.). Meksyk: Pearson Education.