TWIERDZENIE BOLZANO: WYJAŚNIENIE, ZASTOSOWANIA I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Bolzano Twierdzenie mówi, że jeśli funkcja jest ciągła w każdym punkcie zamkniętego przedziału i jest przekonany, że obraz „a” i „b” (w ramach funkcji) mają przeciwne znaki, to nie będzie co najmniej jeden punkt " c ”w przedziale otwartym (a, b) w taki sposób, że funkcja oceniana w„ c ”będzie równa 0.

Twierdzenie to ogłosił filozof, teolog i matematyk Bernard Bolzano w 1850 r. Urodzony w dzisiejszych Czechach naukowiec ten był jednym z pierwszych matematyków w historii, który dokonał formalnego dowodu właściwości funkcji ciągłych.

Wyjaśnienie

Twierdzenie Bolzano jest również znane jako twierdzenie o wartości pośredniej, które pomaga w określaniu określonych wartości, zwłaszcza zer, pewnych funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej.

W danej funkcji f (x) kontynuuje - to znaczy, że f (a) if (b) są połączone krzywą -, gdzie f (a) jest poniżej osi x (jest ujemne), if (b) przez powyżej osi x (jest dodatnia) lub odwrotnie, graficznie na osi x będzie punkt odcięcia, który będzie reprezentował wartość pośrednią „c”, która będzie znajdować się między „a” i „b”, a wartością f (c) będzie równa 0.

Analizując graficznie twierdzenie Bolzano, można zauważyć, że dla każdej funkcji ciągłej f zdefiniowanej na przedziale, gdzie f (a) _* f (b) jest mniejsze niż 0, będzie co najmniej jeden pierwiastek „c” tej funkcji w obrębie przedziału (a, b).

To twierdzenie nie ustala liczby punktów w tym przedziale otwartym, stwierdza jedynie, że jest co najmniej 1 punkt.

Demonstracja

Aby udowodnić twierdzenie Bolzano, przyjmuje się bez utraty ogólności, że f (a) <0 if (b)> 0; zatem może być wiele wartości pomiędzy „a” i „b”, dla których f (x) = 0, ale tylko jedna musi zostać pokazana.

Zaczynamy od oceny f w punkcie środkowym (a + b) / 2. Jeśli f ((a + b) / 2) = 0, to dowód kończy się tutaj; w przeciwnym razie f ((a + b) / 2) jest dodatnie lub ujemne.

Jedna z połówek przedziału jest tak dobrana, że ​​znaki funkcji ocenianej w ekstremach są różne. Ten nowy przedział będzie.

Teraz, jeśli f oszacowane w punkcie środkowym nie jest zerem, to wykonywana jest ta sama operacja co poprzednio; to znaczy, wybrana jest połowa tego przedziału, która spełnia warunek znaków. Niech to będzie nowy przedział.

Jeśli będziesz kontynuować ten proces, będziesz miał dwie sekwencje {an} i {bn}, takie jak:

{an} rośnie, a {bn} maleje:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jeśli obliczysz długość każdego interwału, będziesz musiał:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

…

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Dlatego granica, gdy n zbliża się do nieskończoności (bn-an), jest równa 0.

Używając tego, że {an} jest rosnący i ograniczony, a {bn} maleje i jest ograniczony, mamy, że istnieje wartość «c» taka, że:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Granica an to „c”, a granica {bn} to także „c”. Dlatego, przy dowolnym δ> 0, zawsze występuje „n”, tak że przedział zawiera się w przedziale (c-δ, c + δ).

Teraz trzeba pokazać, że f (c) = 0.

Jeśli f (c)> 0, to ponieważ f jest ciągłe, istnieje ε> 0 takie, że f jest dodatnie w całym przedziale (c - ε, c + ε). Jednak, jak wspomniano powyżej, istnieje wartość „n” taka, że ​​f zmienia znak w znak, a ponadto jest zawarta w (c - ε, c + ε), co jest sprzecznością.

Jeśli f (c) <0, to ponieważ f jest ciągłe, istnieje ε> 0 takie, że f jest ujemne w całym przedziale (c - ε, c + ε); ale istnieje wartość „n” taka, że ​​f zmienia się w logowaniu. Okazuje się, że jest on zawarty w (c - ε, c + ε), co też jest zaprzeczeniem.

Dlatego f (c) = 0 i to właśnie chcieliśmy udowodnić.

Po co to jest?

Z jego graficznej interpretacji twierdzenie Bolzano jest używane do znajdowania pierwiastków lub zer w funkcji ciągłej, poprzez dwusekcję (przybliżenie), która jest metodą wyszukiwania przyrostowego, która zawsze dzieli przedziały przez 2.

Następnie brany jest interwał lub gdy następuje zmiana znaku i proces jest powtarzany, aż odstęp będzie coraz mniejszy, aby móc zbliżyć się do pożądanej wartości; to znaczy do wartości, którą funkcja zwraca 0.

Podsumowując, aby zastosować twierdzenie Bolzano, a tym samym znaleźć pierwiastki, ograniczyć zera funkcji lub podać rozwiązanie równania, wykonuje się następujące kroki:

- Sprawdza się, czy f jest funkcją ciągłą w przedziale.

- Jeśli nie podano przedziału, należy znaleźć, gdzie funkcja jest ciągła.

- Sprawdza się, czy ekstrema przedziału dają przeciwne znaki podczas oceny w f.

- Jeżeli nie uzyskano przeciwnych znaków, przedział należy podzielić na dwa podprzedziały za pomocą środka.

- Oceń funkcję w punkcie środkowym i sprawdź, czy hipoteza Bolzano jest spełniona, gdzie f (a) _* f (b) <0.

- W zależności od znaku (dodatniego lub ujemnego) znalezionej wartości proces jest powtarzany z nowym podprzedziałem, aż do spełnienia powyższej hipotezy.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Sprawdź, czy funkcja f (x) = x ² - 2 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste w przedziale.

Rozwiązanie

Mamy funkcję f (x) = x ² - 2. Ponieważ jest wielomianem, oznacza to, że jest ciągła w dowolnym przedziale.

Jest proszony o określenie, czy ma rzeczywiste rozwiązanie w przedziale, więc teraz wystarczy podstawić krańce przedziału w funkcji, aby znać ich znak i wiedzieć, czy spełniają warunek bycia różnym:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (ujemne)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (dodatnie)

Dlatego znak f (1) ≠ znak f (2).

Zapewnia to, że istnieje co najmniej jeden punkt „c” należący do przedziału, w którym f (c) = 0.

W takim przypadku wartość „c” można łatwo obliczyć w następujący sposób:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Zatem √2 ≈ 1,4 należy do przedziału i spełnia, że ​​f (√2) = 0.

Ćwiczenie 2

Pokaż, że równanie x ⁵ + x + 1 = 0 ma przynajmniej jedno rzeczywiste rozwiązanie.

Rozwiązanie

Najpierw zauważmy, że f (x) = x ⁵ + x + 1 jest funkcją wielomianową, co oznacza, że ​​jest ciągła na wszystkich liczbach rzeczywistych.

W tym przypadku nie podaje się przedziału, więc wartości należy wybierać intuicyjnie, najlepiej blisko 0, aby ocenić funkcję i znaleźć zmianę znaku:

Jeśli korzystasz z interwału, musisz:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Ponieważ nie ma zmiany znaku, proces powtarza się z kolejną przerwą.

Jeśli korzystasz z interwału, musisz:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

W tym przedziale następuje zmiana znaku: znak f (-1) ≠ znak f (0), co oznacza, że ​​funkcja f (x) = x ⁵ + x + 1 ma co najmniej jeden rzeczywisty pierwiastek „c” w przedziale takim, że f (c) = 0. Innymi słowy, prawdą jest, że x ⁵ + x + 1 = 0 ma rozwiązanie rzeczywiste w przedziale.

Bibliografia

1. Bronshtein I, SK (1988). Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów. . Od redakcji MIR.
2. George, A. (1994). Matematyka i umysł. Oxford University Press.
3. Ilín V, PE (1991). Analiza matematyczna. W trzech tomach. .
4. Jesús Gómez, FG (2003). Nauczyciele szkół średnich. Tom II. SZALONY.
5. Mateos, ML (2013). Podstawowe właściwości analizy w R. Editores, 20 grudnia.
6. Piskunov, N. (1980). Rachunek różniczkowy i całkowy. .
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matematyka w analizie ekonomicznej. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (nd). Ciągła symetria: od Euclida do Kleina. American Mathematical Soc.