- Formuły i demonstracja
- Twierdzenie o wysokości
- Demonstracja
- Twierdzenie o nodze
- Demonstracja
- Związek między twierdzeniami Euklidesa
- Rozwiązane ćwiczenia
- Przykład 1
- Rozwiązanie
- Przykład 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Twierdzenie Euklidesa pokazuje właściwości trójkąta, aby narysować linię, która dzieli go na dwa nowe trójkąty, które są podobne iz kolei podobne do oryginalnego trójkąta; wtedy istnieje relacja proporcjonalności.
Euclid był jednym z największych matematyków i geometrów starożytności, który przeprowadził kilka dowodów ważnych twierdzeń. Jednym z głównych jest ten, który nosi jego imię i ma szerokie zastosowanie.

Stało się tak, ponieważ za pomocą tego twierdzenia wyjaśnia on w prosty sposób zależności geometryczne istniejące w trójkącie prostokątnym, gdzie odnogi trójkąta są powiązane z ich rzutami na przeciwprostokątną.
Formuły i demonstracja
Twierdzenie Euklidesa sugeruje, że w każdym trójkącie prostokątnym, kiedy narysowana jest linia - która reprezentuje wysokość odpowiadającą wierzchołkowi kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej - powstają dwa trójkąty prostokątne z oryginału.
Te trójkąty będą do siebie podobne, a także będą podobne do oryginalnego trójkąta, co oznacza, że ich podobne boki są do siebie proporcjonalne:
Kąty trzech trójkątów są przystające; to znaczy, kiedy są obrócone o 180 stopni wokół ich wierzchołka, jeden kąt pokrywa się z drugim. Oznacza to, że wszystkie będą takie same.
W ten sposób podobieństwo istniejące między trzema trójkątami można również zweryfikować na podstawie równości ich kątów. Na podstawie podobieństwa trójkątów Euclid ustala ich proporcje na podstawie dwóch twierdzeń:
- Twierdzenie o wysokości.
- Twierdzenie o nogach.

To twierdzenie ma szerokie zastosowanie. W starożytności był używany do obliczania wysokości lub odległości, co stanowiło wielki postęp w trygonometrii.
Obecnie jest stosowany w różnych dziedzinach opartych na matematyce, takich jak między innymi inżynieria, fizyka, chemia i astronomia.
Twierdzenie o wysokości
W tym twierdzeniu ustalono, że w dowolnym trójkącie prostokątnym wysokość narysowana z kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej jest średnią geometryczną proporcjonalności (kwadrat wysokości) między rzutami nóg, które określa na przeciwprostokątnej.
Oznacza to, że kwadrat wysokości będzie równy pomnożeniu rzutowanych nóg, które tworzą przeciwprostokątną:
h c 2 = m * n

Demonstracja
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który znajduje się w wierzchołku C, wykreślenie wysokości generuje dwa podobne trójkąty prostokątne, ADC i BCD; dlatego ich odpowiednie boki są proporcjonalne:

W ten sposób, że wysokość h c, która odpowiada odcinkowi CD, odpowiada przeciwprostokątnej AB = c, a więc mamy:

To z kolei odpowiada:

Rozwiązując przeciwprostokątną (h c ), aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
Zatem wartość przeciwprostokątnej jest określona przez:

Twierdzenie o nodze
W tym twierdzeniu ustalono, że w każdym trójkącie prostokątnym miarą każdej nogi będzie średnia geometryczna proporcjonalna (kwadrat każdej nogi) między miarą przeciwprostokątnej (kompletnej) a rzutem każdej z nich na nią:
b 2 = c * m
a 2 = c * n

Demonstracja
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który znajduje się dokładnie w wierzchołku C, w taki sposób, że jego przeciwprostokątna jest c, podczas wykreślania wysokości (h) określa się rzuty nóg a i b, które są odpowiednio segmentami mi n i które leżą na przeciwprostokątna.
Zatem wysokość narysowana na prawym trójkącie ABC generuje dwa podobne trójkąty prostokątne, ADC i BCD, tak że odpowiednie boki są proporcjonalne, na przykład:
DB = n, czyli rzut nogi CB na przeciwprostokątną.
AD = m, czyli rzut nogi AC na przeciwprostokątną.
Następnie przeciwprostokątna c jest określona przez sumę nóg jej występów:
c = m + n
Ze względu na podobieństwo trójkątów ADC i BCD mamy:

Powyższe jest takie samo jak:

Szukając nogi „a”, aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:
a * a = c * n
a 2 = c * n
Zatem wartość odnogi „a” jest określona wzorem:

W ten sam sposób, ze względu na podobieństwo trójkątów ACB i ADC, mamy:

Powyższe jest równe:

Szukając nogi „b”, aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:
b * b = c * m
b 2 = c * m
Zatem wartość odnogi „b” jest określona wzorem:

Związek między twierdzeniami Euklidesa
Twierdzenia dotyczące wysokości i nóg są ze sobą powiązane, ponieważ ich miara jest dokonywana w odniesieniu do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.
Poprzez relację twierdzeń Euklidesa można również znaleźć wartość wysokości; jest to możliwe dzięki rozwiązaniu wartości m i n z twierdzenia o nodze i są one zastępowane w twierdzeniu o wysokości. W ten sposób spełnia się, że wysokość jest równa wielokrotności nóg podzielonej przez przeciwprostokątną:
b 2 = c * m
m = b 2 ÷ c
a 2 = c * n
n = a 2 ÷ c
W twierdzeniu o wysokości zastępujemy m i n:
h c 2 = m * n
h c 2 = (b 2 ÷ c) * (a 2 ÷ c)
h c = (b 2 * a 2 ) ÷ c
Rozwiązane ćwiczenia
Przykład 1
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, na wprost A, określ miarę AC i AD, jeżeli AB = 30 cm i BD = 18 cm

Rozwiązanie
W tym przypadku mamy wymiary jednej z rzutowanych nóg (BD) i jednej z nóg oryginalnego trójkąta (AB). W ten sposób twierdzenie o odnodze można zastosować do wyznaczenia wartości odnogi BC.
AB 2 = BD * BC
(30) 2 = 18 * pne
900 = 18 * pne
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Wartość CD nogi można znaleźć wiedząc, że BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Teraz można wyznaczyć wartość AC odnogi, stosując ponownie twierdzenie odnogi:
AC 2 = CD * BD
AC 2 = 32 * 50
AC 2 = 160
AC = √1600 = 40 cm
Aby określić wartość wysokości (AD), stosuje się twierdzenie o wysokości, ponieważ znane są wartości rzutowanych nóg CD i BD:
AD 2 = 32 * 18
AD 2 = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Przykład 2
Określ wartość wysokości (h) trójkąta MNL, bezpośrednio w N, znając wymiary segmentów:

NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Rozwiązanie
Mamy wymiar jednej z nóg rzutowany na przeciwprostokątną (PM), a także wymiary nóg oryginalnego trójkąta. W ten sposób twierdzenie odnogi można zastosować do znalezienia wartości drugiej rzutowanej odnogi (LN):
NL 2 = PM * LM
(10) 2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Ponieważ wartość nóg i przeciwprostokątnej jest już znana, poprzez związek twierdzeń o wysokości i nogach można określić wartość wysokości:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b 2 * a 2 ) ÷ c.
h = (10 2 * 5 2 ) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
Bibliografia
- Braun, E. (2011). Chaos, fraktale i dziwne rzeczy. Fundusz Kultury Ekonomicznej.
- Cabrera, VM (1974). Współczesna matematyka, tom 3.
- Daniel Hernandez, DP (2014). Matematyka na trzecim roku. Caracas: Santillana.
- Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Encyklopedia hiszpańskojęzyczna: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
- Euclid, RP (1886). Elementy geometrii Euklidesa.
- Guardeño, AJ (2000). Dziedzictwo matematyki: od Euklidesa do Newtona, geniusze poprzez ich książki. Uniwersytet w Sewilli.
