TWIERDZENIE EUKLIDESA: DOWÓD, ZASTOSOWANIE I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Twierdzenie Euklidesa pokazuje właściwości trójkąta, aby narysować linię, która dzieli go na dwa nowe trójkąty, które są podobne iz kolei podobne do oryginalnego trójkąta; wtedy istnieje relacja proporcjonalności.

Euclid był jednym z największych matematyków i geometrów starożytności, który przeprowadził kilka dowodów ważnych twierdzeń. Jednym z głównych jest ten, który nosi jego imię i ma szerokie zastosowanie.

Stało się tak, ponieważ za pomocą tego twierdzenia wyjaśnia on w prosty sposób zależności geometryczne istniejące w trójkącie prostokątnym, gdzie odnogi trójkąta są powiązane z ich rzutami na przeciwprostokątną.

Formuły i demonstracja

Twierdzenie Euklidesa sugeruje, że w każdym trójkącie prostokątnym, kiedy narysowana jest linia - która reprezentuje wysokość odpowiadającą wierzchołkowi kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej - powstają dwa trójkąty prostokątne z oryginału.

Te trójkąty będą do siebie podobne, a także będą podobne do oryginalnego trójkąta, co oznacza, że ​​ich podobne boki są do siebie proporcjonalne:

Kąty trzech trójkątów są przystające; to znaczy, kiedy są obrócone o 180 stopni wokół ich wierzchołka, jeden kąt pokrywa się z drugim. Oznacza to, że wszystkie będą takie same.

W ten sposób podobieństwo istniejące między trzema trójkątami można również zweryfikować na podstawie równości ich kątów. Na podstawie podobieństwa trójkątów Euclid ustala ich proporcje na podstawie dwóch twierdzeń:

- Twierdzenie o wysokości.

- Twierdzenie o nogach.

To twierdzenie ma szerokie zastosowanie. W starożytności był używany do obliczania wysokości lub odległości, co stanowiło wielki postęp w trygonometrii.

Obecnie jest stosowany w różnych dziedzinach opartych na matematyce, takich jak między innymi inżynieria, fizyka, chemia i astronomia.

Twierdzenie o wysokości

W tym twierdzeniu ustalono, że w dowolnym trójkącie prostokątnym wysokość narysowana z kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej jest średnią geometryczną proporcjonalności (kwadrat wysokości) między rzutami nóg, które określa na przeciwprostokątnej.

Oznacza to, że kwadrat wysokości będzie równy pomnożeniu rzutowanych nóg, które tworzą przeciwprostokątną:

h _c ² = m _* n

Demonstracja

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który znajduje się w wierzchołku C, wykreślenie wysokości generuje dwa podobne trójkąty prostokątne, ADC i BCD; dlatego ich odpowiednie boki są proporcjonalne:

W ten sposób, że wysokość h _c, która odpowiada odcinkowi CD, odpowiada przeciwprostokątnej AB = c, a więc mamy:

To z kolei odpowiada:

Rozwiązując przeciwprostokątną (h _c ), aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Zatem wartość przeciwprostokątnej jest określona przez:

Twierdzenie o nodze

W tym twierdzeniu ustalono, że w każdym trójkącie prostokątnym miarą każdej nogi będzie średnia geometryczna proporcjonalna (kwadrat każdej nogi) między miarą przeciwprostokątnej (kompletnej) a rzutem każdej z nich na nią:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstracja

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który znajduje się dokładnie w wierzchołku C, w taki sposób, że jego przeciwprostokątna jest c, podczas wykreślania wysokości (h) określa się rzuty nóg a i b, które są odpowiednio segmentami mi n i które leżą na przeciwprostokątna.

Zatem wysokość narysowana na prawym trójkącie ABC generuje dwa podobne trójkąty prostokątne, ADC i BCD, tak że odpowiednie boki są proporcjonalne, na przykład:

DB = n, czyli rzut nogi CB na przeciwprostokątną.

AD = m, czyli rzut nogi AC na przeciwprostokątną.

Następnie przeciwprostokątna c jest określona przez sumę nóg jej występów:

c = m + n

Ze względu na podobieństwo trójkątów ADC i BCD mamy:

Powyższe jest takie samo jak:

Szukając nogi „a”, aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Zatem wartość odnogi „a” jest określona wzorem:

W ten sam sposób, ze względu na podobieństwo trójkątów ACB i ADC, mamy:

Powyższe jest równe:

Szukając nogi „b”, aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Zatem wartość odnogi „b” jest określona wzorem:

Związek między twierdzeniami Euklidesa

Twierdzenia dotyczące wysokości i nóg są ze sobą powiązane, ponieważ ich miara jest dokonywana w odniesieniu do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Poprzez relację twierdzeń Euklidesa można również znaleźć wartość wysokości; jest to możliwe dzięki rozwiązaniu wartości m i n z twierdzenia o nodze i są one zastępowane w twierdzeniu o wysokości. W ten sposób spełnia się, że wysokość jest równa wielokrotności nóg podzielonej przez przeciwprostokątną:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

W twierdzeniu o wysokości zastępujemy m i n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Rozwiązane ćwiczenia

Przykład 1

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, na wprost A, określ miarę AC i AD, jeżeli AB = 30 cm i BD = 18 cm

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy wymiary jednej z rzutowanych nóg (BD) i jednej z nóg oryginalnego trójkąta (AB). W ten sposób twierdzenie o odnodze można zastosować do wyznaczenia wartości odnogi BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* pne

900 = 18 _* pne

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Wartość CD nogi można znaleźć wiedząc, że BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Teraz można wyznaczyć wartość AC odnogi, stosując ponownie twierdzenie odnogi:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Aby określić wartość wysokości (AD), stosuje się twierdzenie o wysokości, ponieważ znane są wartości rzutowanych nóg CD i BD:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Przykład 2

Określ wartość wysokości (h) trójkąta MNL, bezpośrednio w N, znając wymiary segmentów:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Rozwiązanie

Mamy wymiar jednej z nóg rzutowany na przeciwprostokątną (PM), a także wymiary nóg oryginalnego trójkąta. W ten sposób twierdzenie odnogi można zastosować do znalezienia wartości drugiej rzutowanej odnogi (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Ponieważ wartość nóg i przeciwprostokątnej jest już znana, poprzez związek twierdzeń o wysokości i nogach można określić wartość wysokości:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Bibliografia

1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktale i dziwne rzeczy. Fundusz Kultury Ekonomicznej.
2. Cabrera, VM (1974). Współczesna matematyka, tom 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matematyka na trzecim roku. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Encyklopedia hiszpańskojęzyczna: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Elementy geometrii Euklidesa.
6. Guardeño, AJ (2000). Dziedzictwo matematyki: od Euklidesa do Newtona, geniusze poprzez ich książki. Uniwersytet w Sewilli.