TWIERDZENIE O ISTNIENIU I NIEPOWTARZALNOŚCI: DOWÓD, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności ustala warunki konieczne i wystarczające, aby równanie różniczkowe pierwszego rzędu, przy zadanym warunku początkowym, miało rozwiązanie i było to rozwiązanie jedyne.

Jednak twierdzenie to nie daje żadnej techniki ani wskazówek, jak znaleźć takie rozwiązanie. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności jest również rozszerzone na równania różniczkowe wyższego rzędu z warunkami początkowymi, znane jako problem Cauchy'ego.

Rysunek 1. Przedstawiono równanie różniczkowe z warunkiem początkowym i jego rozwiązaniem. Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności gwarantuje, że jest to jedyne możliwe rozwiązanie.

Formalne stwierdzenie o istnieniu i twierdzeniu o niepowtarzalności jest następujące:

„Dla równania różniczkowego y '(x) = f (x, y) z warunkiem początkowym y (a) = b, istnieje co najmniej jedno rozwiązanie w prostokątnym obszarze płaszczyzny XY, który zawiera punkt (a, b), jeżeli f (x, y) jest ciągła w tym regionie. A jeśli pochodna cząstkowa f względem y: g = ∂f / ∂y jest ciągła w tym samym prostokątnym obszarze, to rozwiązanie jest unikalne w sąsiedztwie punktu (a, b) zawartego w obszarze ciągłości fy sol. "

Użyteczność tego twierdzenia polega przede wszystkim na poznaniu obszarów płaszczyzny XY, w których może istnieć rozwiązanie, a także na wiedzy, czy znalezione rozwiązanie jest jedynym możliwym, czy też są inne.

Zauważ, że w przypadku niespełnienia warunku niepowtarzalności twierdzenie nie może przewidzieć, ile w sumie rozwiązań ma problem Cauchy'ego: być może jest to jeden, dwa lub więcej.

Dowód istnienia i twierdzenie o niepowtarzalności

Rysunek 2. Charles Émile Picard (1856-1941) jest uznawany za jeden z pierwszych dowodów twierdzenia o istnieniu i unikalności. Źródło: Wikimedia Commons.

Dla tego twierdzenia znane są dwa możliwe dowody, jeden z nich jest dowodem Charlesa Émile Picarda (1856-1941), a drugi wynika z Giuseppe Peano (1858-1932) na podstawie prac Augustina Louisa Cauchy'ego (1789-1857) .

Warto zauważyć, że najbardziej błyskotliwe umysły matematyczne XIX wieku brały udział w dowodzeniu tego twierdzenia, więc można przypuszczać, że żaden z nich nie jest prosty.

Aby formalnie udowodnić twierdzenie, konieczne jest najpierw ustalenie szeregu bardziej zaawansowanych koncepcji matematycznych, takich jak funkcje typu Lipschitz, przestrzenie Banacha, twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego i kilka innych, które wykraczają poza zakres artykułu.

Duża część równań różniczkowych, które są obsługiwane w fizyce, dotyczy funkcji ciągłych w obszarach zainteresowania, dlatego ograniczymy się do pokazania, jak to twierdzenie jest stosowane w prostych równaniach.

Przykłady

- Przykład 1

Rozważmy następujące równanie różniczkowe z warunkiem początkowym:

y '(x) = - y; gdzie y (1) = 3

Czy istnieje rozwiązanie tego problemu? Czy to jedyne możliwe rozwiązanie?

Odpowiedzi

W pierwszej kolejności ocenia się istnienie rozwiązania równania różniczkowego i spełnia ono również warunek początkowy.

W tym przykładzie f (x, y) = - a warunek istnienia wymaga wiedzy, czy f (x, y) jest ciągła w obszarze płaszczyzny XY, który zawiera punkt o współrzędnych x = 1, y = 3.

Ale f (x, y) = - y jest funkcją afiniczną, która jest ciągła w dziedzinie liczb rzeczywistych i istnieje w całym zakresie liczb rzeczywistych.

Dlatego wyciągnięto wniosek, że f (x, y) jest ciągły w R ² , więc twierdzenie gwarantuje istnienie co najmniej jednego rozwiązania.

Wiedząc o tym, należy ocenić, czy rozwiązanie jest wyjątkowe, czy wręcz przeciwnie, jest więcej niż jedno. W tym celu należy obliczyć pochodną cząstkową f względem zmiennej y:

Następnie G (x, y) = -1, która jest funkcją stałą, która jest również określony dla wszystkich R ² i jest tam ciągłe. Wynika z tego, że twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności gwarantuje, że ten problem wartości początkowej ma unikalne rozwiązanie, chociaż nie mówi nam, czym jest.

- Przykład 2

Rozważmy następujące równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu z warunkiem początkowym:

y '(x) = 2√y; i (0) = 0.

Czy istnieje rozwiązanie y (x) tego problemu? Jeśli tak, określ, czy jest jeden, czy więcej niż jeden.

Odpowiadać

Rozważamy funkcję f (x, y) = 2√y. Funkcja f jest zdefiniowana tylko dla y 0, ponieważ wiemy, że liczba ujemna nie ma rzeczywistego pierwiastka. Co więcej, f (x, y) jest ciągłe w górnej połowie płaszczyzny R ^2, łącznie z osią X, więc istnienie i twierdzenie o jednoznaczności gwarantuje co najmniej jedno rozwiązanie w tym obszarze.

Teraz warunek początkowy x = 0, y = 0 znajduje się na krawędzi obszaru rozwiązania. Następnie bierzemy pochodną cząstkową f (x, y) względem y:

∂f / ∂y = 1 / √y

W tym przypadku funkcja nie jest zdefiniowana dla y = 0, dokładnie tam, gdzie jest warunek początkowy.

Co mówi nam to twierdzenie? Mówi nam, że chociaż wiemy, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie w górnej półpłaszczyźnie osi X, w tym oś X, skoro warunek niepowtarzalności nie jest spełniony, nie ma gwarancji, że będzie rozwiązanie unikalne.

Oznacza to, że w obszarze ciągłości f (x, y) może istnieć jedno lub więcej rozwiązań. I jak zawsze, twierdzenie nie mówi nam, jakie mogą być.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Rozwiąż problem Cauchy'ego w przykładzie 1:

y '(x) = - y; gdzie y (1) = 3.

Znajdź funkcję y (x), która spełnia równanie różniczkowe i warunek początkowy.

Rozwiązanie

W przykładzie 1 ustalono, że ten problem ma rozwiązanie i jest również wyjątkowy. Aby znaleźć rozwiązanie, pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że jest to równanie różniczkowe pierwszego stopnia rozdzielalnych zmiennych, które jest zapisane w następujący sposób:

Dzieląc między iw obu członach, aby oddzielić zmienne, mamy:

Całka nieoznaczona jest stosowana w obu członach:

Rozwiązując całki nieoznaczone mamy:

gdzie C jest stałą całkowania określoną przez warunek początkowy:

Podstawiając wartość C i zmieniając ją, pozostaje:

Zastosowanie następującej własności logarytmów:

Powyższe wyrażenie można przepisać w następujący sposób:

Funkcja wykładnicza o podstawie e w obu członach jest stosowana do uzyskania:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Co jest równoważne z:

y = 3e e ^-x

Jest to unikalne rozwiązanie równania y '= -y z y (1) = 3. Wykres tego rozwiązania pokazano na rysunku 1.

- Ćwiczenie 2

Znajdź dwa rozwiązania problemu przedstawionego w przykładzie 2:

y '(x) = 2√ (y); i (0) = 0.

Rozwiązanie

Jest to również równanie rozdzielnych zmiennych, które zapisane w postaci różniczkowej wygląda następująco:

dy / √ (y) = 2 dx

Przyjmując całkę nieoznaczoną w obu członach pozostaje:

2 √ (y) = 2 x + C

Ponieważ wiemy, że y≥0 w regionie rozwiązania mamy:

y = (x + C) ²

Ale ponieważ warunek początkowy x = 0, y = 0 musi być spełniony, to stała C wynosi zero i pozostaje następujące rozwiązanie:

y (x) = x ² .

Ale to rozwiązanie nie jest unikalne, funkcja y (x) = 0 jest również rozwiązaniem postawionego problemu. Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności zastosowane do tego problemu w przykładzie 2 przewidywało już, że może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie.

Bibliografia

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Teoria zwykłych równań różniczkowych, Nowy Jork: McGraw-Hill.
2. Encyklopedia matematyki. Twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Odzyskane z: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, s. 454–457. Odzyskany z: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Metoda kolejnych aproksymacji Picarda. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa. Odzyskany z: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Podstawowe równania różniczkowe z aplikacjami Prentice Hall.