- Dowód istnienia i twierdzenie o niepowtarzalności
- Przykłady
- - Przykład 1
- Odpowiedzi
- - Przykład 2
- Odpowiadać
- Rozwiązane ćwiczenia
- - Ćwiczenie 1
- Rozwiązanie
- - Ćwiczenie 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności ustala warunki konieczne i wystarczające, aby równanie różniczkowe pierwszego rzędu, przy zadanym warunku początkowym, miało rozwiązanie i było to rozwiązanie jedyne.
Jednak twierdzenie to nie daje żadnej techniki ani wskazówek, jak znaleźć takie rozwiązanie. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności jest również rozszerzone na równania różniczkowe wyższego rzędu z warunkami początkowymi, znane jako problem Cauchy'ego.

Rysunek 1. Przedstawiono równanie różniczkowe z warunkiem początkowym i jego rozwiązaniem. Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności gwarantuje, że jest to jedyne możliwe rozwiązanie.
Formalne stwierdzenie o istnieniu i twierdzeniu o niepowtarzalności jest następujące:
„Dla równania różniczkowego y '(x) = f (x, y) z warunkiem początkowym y (a) = b, istnieje co najmniej jedno rozwiązanie w prostokątnym obszarze płaszczyzny XY, który zawiera punkt (a, b), jeżeli f (x, y) jest ciągła w tym regionie. A jeśli pochodna cząstkowa f względem y: g = ∂f / ∂y jest ciągła w tym samym prostokątnym obszarze, to rozwiązanie jest unikalne w sąsiedztwie punktu (a, b) zawartego w obszarze ciągłości fy sol. "
Użyteczność tego twierdzenia polega przede wszystkim na poznaniu obszarów płaszczyzny XY, w których może istnieć rozwiązanie, a także na wiedzy, czy znalezione rozwiązanie jest jedynym możliwym, czy też są inne.
Zauważ, że w przypadku niespełnienia warunku niepowtarzalności twierdzenie nie może przewidzieć, ile w sumie rozwiązań ma problem Cauchy'ego: być może jest to jeden, dwa lub więcej.
Dowód istnienia i twierdzenie o niepowtarzalności

Rysunek 2. Charles Émile Picard (1856-1941) jest uznawany za jeden z pierwszych dowodów twierdzenia o istnieniu i unikalności. Źródło: Wikimedia Commons.
Dla tego twierdzenia znane są dwa możliwe dowody, jeden z nich jest dowodem Charlesa Émile Picarda (1856-1941), a drugi wynika z Giuseppe Peano (1858-1932) na podstawie prac Augustina Louisa Cauchy'ego (1789-1857) .
Warto zauważyć, że najbardziej błyskotliwe umysły matematyczne XIX wieku brały udział w dowodzeniu tego twierdzenia, więc można przypuszczać, że żaden z nich nie jest prosty.
Aby formalnie udowodnić twierdzenie, konieczne jest najpierw ustalenie szeregu bardziej zaawansowanych koncepcji matematycznych, takich jak funkcje typu Lipschitz, przestrzenie Banacha, twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego i kilka innych, które wykraczają poza zakres artykułu.
Duża część równań różniczkowych, które są obsługiwane w fizyce, dotyczy funkcji ciągłych w obszarach zainteresowania, dlatego ograniczymy się do pokazania, jak to twierdzenie jest stosowane w prostych równaniach.
Przykłady
- Przykład 1
Rozważmy następujące równanie różniczkowe z warunkiem początkowym:
y '(x) = - y; gdzie y (1) = 3
Czy istnieje rozwiązanie tego problemu? Czy to jedyne możliwe rozwiązanie?
Odpowiedzi
W pierwszej kolejności ocenia się istnienie rozwiązania równania różniczkowego i spełnia ono również warunek początkowy.
W tym przykładzie f (x, y) = - a warunek istnienia wymaga wiedzy, czy f (x, y) jest ciągła w obszarze płaszczyzny XY, który zawiera punkt o współrzędnych x = 1, y = 3.
Ale f (x, y) = - y jest funkcją afiniczną, która jest ciągła w dziedzinie liczb rzeczywistych i istnieje w całym zakresie liczb rzeczywistych.
Dlatego wyciągnięto wniosek, że f (x, y) jest ciągły w R 2 , więc twierdzenie gwarantuje istnienie co najmniej jednego rozwiązania.
Wiedząc o tym, należy ocenić, czy rozwiązanie jest wyjątkowe, czy wręcz przeciwnie, jest więcej niż jedno. W tym celu należy obliczyć pochodną cząstkową f względem zmiennej y:
Następnie G (x, y) = -1, która jest funkcją stałą, która jest również określony dla wszystkich R 2 i jest tam ciągłe. Wynika z tego, że twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności gwarantuje, że ten problem wartości początkowej ma unikalne rozwiązanie, chociaż nie mówi nam, czym jest.
- Przykład 2
Rozważmy następujące równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu z warunkiem początkowym:
y '(x) = 2√y; i (0) = 0.
Czy istnieje rozwiązanie y (x) tego problemu? Jeśli tak, określ, czy jest jeden, czy więcej niż jeden.
Odpowiadać
Rozważamy funkcję f (x, y) = 2√y. Funkcja f jest zdefiniowana tylko dla y 0, ponieważ wiemy, że liczba ujemna nie ma rzeczywistego pierwiastka. Co więcej, f (x, y) jest ciągłe w górnej połowie płaszczyzny R 2, łącznie z osią X, więc istnienie i twierdzenie o jednoznaczności gwarantuje co najmniej jedno rozwiązanie w tym obszarze.
Teraz warunek początkowy x = 0, y = 0 znajduje się na krawędzi obszaru rozwiązania. Następnie bierzemy pochodną cząstkową f (x, y) względem y:
∂f / ∂y = 1 / √y
W tym przypadku funkcja nie jest zdefiniowana dla y = 0, dokładnie tam, gdzie jest warunek początkowy.
Co mówi nam to twierdzenie? Mówi nam, że chociaż wiemy, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie w górnej półpłaszczyźnie osi X, w tym oś X, skoro warunek niepowtarzalności nie jest spełniony, nie ma gwarancji, że będzie rozwiązanie unikalne.
Oznacza to, że w obszarze ciągłości f (x, y) może istnieć jedno lub więcej rozwiązań. I jak zawsze, twierdzenie nie mówi nam, jakie mogą być.
Rozwiązane ćwiczenia
- Ćwiczenie 1
Rozwiąż problem Cauchy'ego w przykładzie 1:
y '(x) = - y; gdzie y (1) = 3.
Znajdź funkcję y (x), która spełnia równanie różniczkowe i warunek początkowy.
Rozwiązanie
W przykładzie 1 ustalono, że ten problem ma rozwiązanie i jest również wyjątkowy. Aby znaleźć rozwiązanie, pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że jest to równanie różniczkowe pierwszego stopnia rozdzielalnych zmiennych, które jest zapisane w następujący sposób:
Dzieląc między iw obu członach, aby oddzielić zmienne, mamy:
Całka nieoznaczona jest stosowana w obu członach:
Rozwiązując całki nieoznaczone mamy:
gdzie C jest stałą całkowania określoną przez warunek początkowy:
Podstawiając wartość C i zmieniając ją, pozostaje:
Zastosowanie następującej własności logarytmów:
Powyższe wyrażenie można przepisać w następujący sposób:
Funkcja wykładnicza o podstawie e w obu członach jest stosowana do uzyskania:
y / 3 = e (1 - x)
Co jest równoważne z:
y = 3e e -x
Jest to unikalne rozwiązanie równania y '= -y z y (1) = 3. Wykres tego rozwiązania pokazano na rysunku 1.
- Ćwiczenie 2
Znajdź dwa rozwiązania problemu przedstawionego w przykładzie 2:
y '(x) = 2√ (y); i (0) = 0.
Rozwiązanie
Jest to również równanie rozdzielnych zmiennych, które zapisane w postaci różniczkowej wygląda następująco:
dy / √ (y) = 2 dx
Przyjmując całkę nieoznaczoną w obu członach pozostaje:
2 √ (y) = 2 x + C
Ponieważ wiemy, że y≥0 w regionie rozwiązania mamy:
y = (x + C) 2
Ale ponieważ warunek początkowy x = 0, y = 0 musi być spełniony, to stała C wynosi zero i pozostaje następujące rozwiązanie:
y (x) = x 2 .
Ale to rozwiązanie nie jest unikalne, funkcja y (x) = 0 jest również rozwiązaniem postawionego problemu. Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności zastosowane do tego problemu w przykładzie 2 przewidywało już, że może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie.
Bibliografia
- Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Teoria zwykłych równań różniczkowych, Nowy Jork: McGraw-Hill.
- Encyklopedia matematyki. Twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Odzyskane z: encyclopediaofmath.org
- Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, s. 454–457. Odzyskany z: gallica.bnf.fr.
- Wikipedia. Metoda kolejnych aproksymacji Picarda. Odzyskany z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa. Odzyskany z: es.wikipedia.com.
- Zill, D. 1986. Podstawowe równania różniczkowe z aplikacjami Prentice Hall.
