Twierdzenie Greena jest metodą obliczeniową używaną do łączenia całek prostych, całek podwójnych lub pola powierzchni. Uwzględnione funkcje należy oznaczyć jako pola wektorowe i zdefiniować w ścieżce C.
Na przykład wyrażenie całkowe po linii może być bardzo trudne do rozwiązania; jednak dzięki implementacji twierdzenia Greena całki podwójne stają się dość podstawowe. Zawsze ważne jest przestrzeganie dodatniego kierunku trajektorii, dotyczy to kierunku przeciwnego do ruchu wskazówek zegara.
Twierdzenie Greena jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa, w którym rzutowanie funkcji wektorowej odbywa się na płaszczyźnie xy.
Definicja
Wyrażenie Twierdzenia Greena jest następujące:
Pierwszy człon przedstawia całkę prostoliniową zdefiniowaną przez ścieżkę „C” iloczynu skalarnego między funkcją wektorową „F” a funkcją wektora „r”.
C: Jest to zdefiniowana ścieżka, na której będzie rzutowana funkcja wektorowa, o ile jest zdefiniowana dla tej płaszczyzny.
F: Funkcja wektorowa, gdzie każdy z jej składowych jest zdefiniowany przez funkcję jako taką (f, g).
r: Jest to wektor styczny do obszaru R, na którym zdefiniowana jest całka. W tym przypadku operujemy na różniczce tego wektora.
W drugim członie widzimy rozwinięte twierdzenie Greena, w którym obserwuje się całkę podwójną określoną w obszarze R różnicy pochodnych cząstkowych g i f odpowiednio względem x i y. Przez różniczkę pola, która jest niczym innym jak iloczynem obu dwuwymiarowych różniczek (dx.dy).
To twierdzenie doskonale nadaje się do całek przestrzennych i powierzchniowych.
Demonstracja
Aby w prosty sposób udowodnić twierdzenie Greena, zadanie to zostanie podzielone na 2 części. Przede wszystkim założymy, że funkcja wektorowa F ma definicję tylko na odwrót i. Podczas gdy funkcja „g” odpowiadająca wersorowi j będzie równa zeru.
Autor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Najpierw opracowujemy całkę prostoliniową na ścieżce C, dla której ścieżka została podzielona na sektory na 2 sekcje, które biegną najpierw od a do b, a następnie od b do a.
Definicja podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego jest stosowana dla całki oznaczonej.
Wyrażenie jest przestawiane w jedną całkę, ujemny staje się wspólnym czynnikiem, a kolejność czynników jest odwracana.
Obserwując szczegółowo to wyrażenie, staje się oczywiste, że stosując prymitywne kryteria funkcji, mamy do czynienia z całką wyrażenia wyprowadzonego z f względem y. Oceniane w parametrach
Teraz wystarczy założyć, że funkcja wektorowa F jest zdefiniowana tylko dla g (x, y) j . W przypadku gdy działając w sposób podobny do poprzedniego przypadku, uzyskuje się:
Na koniec dwa dowody są pobierane i łączone w przypadku, gdy funkcja wektorowa przyjmuje wartości dla obu wersetów. W ten sposób pokazano, jak całka prosta po zdefiniowaniu i potraktowaniu jej jako jednowymiarowej trajektorii może być w pełni rozwinięta dla płaszczyzny i przestrzeni.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
W ten sposób udowodniono twierdzenie Greena.
Aplikacje
Zastosowania twierdzenia Greena są szerokie w gałęziach fizyki i matematyki. Obejmują one dowolne aplikacje lub zastosowania, które można wykorzystać do integracji linii.
Praca mechaniczna wykonywana przez siłę F na ścieżce C, może być rozwinięta przez całkę po linii, która jest wyrażona jako podwójna całka powierzchni według twierdzenia Greena.
Momenty bezwładności wielu ciał poddanych działaniu sił zewnętrznych w różnych punktach zastosowania również odpowiadają całkom prostoliniowym, które można rozwinąć za pomocą twierdzenia Greena.
Ma to wiele funkcji w badaniach odporności używanych materiałów. Gdzie wartości zewnętrzne można określić ilościowo i uwzględnić przed opracowaniem różnych elementów.
Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie Greena ułatwia zrozumienie i zdefiniowanie obszarów, w których zdefiniowane są funkcje wektorowe w odniesieniu do regionu wzdłuż ścieżki.
Historia
Została opublikowana w 1828 roku w pracy Mathematical analysis to theories of electric and magnism, napisanej przez brytyjskiego matematyka George'a Greena. W nim badane są dość decydujące sekcje dotyczące zastosowania rachunku różniczkowego w fizyce, takie jak koncepcja funkcji potencjalnych, funkcje Greena i zastosowania jego twierdzenia zatytułowanego.
George Green sformalizował swoją karierę studencką w wieku 40 lat, będąc do tej pory matematykiem samoukiem. Po studiach na Uniwersytecie w Cambridge kontynuował swoje badania, wnosząc wkład w akustykę, optykę i hydrodynamikę, które są nadal aktualne.
Związek z innymi twierdzeniami
Twierdzenie Greena jest przypadkiem szczególnym i wynika ono z dwóch innych bardzo ważnych twierdzeń z zakresu rachunku różniczkowego. Są to twierdzenie Kelvina-Stokesa i twierdzenie o dywergencji lub twierdzenie Gaussa Ostrogradskiego.
Wychodząc z jednego z dwóch twierdzeń, można dojść do twierdzenia Greena. Do opracowania takich dowodów konieczne są pewne definicje i twierdzenia.
Ćwiczenia
- Poniższe ćwiczenie pokazuje, jak przekształcić całkę prostą w całkę podwójną w odniesieniu do regionu R.
Oryginalne wyrażenie jest następujące:
Skąd pobierane są odpowiednie funkcje af ig
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Nie ma jednego sposobu na zdefiniowanie granic całkowania przy zastosowaniu twierdzenia Greena. Ale są sposoby, w których całki po zdefiniowaniu mogą być prostsze. Dlatego na uwagę zasługuje optymalizacja granic integracji.
Gdzie rozwiązując całki otrzymujemy:
Wartość ta odpowiada w jednostkach sześciennych obszarowi poniżej funkcji wektorowej i nad obszarem trójkątnym określonym przez C.
W przypadku całki prostoliniowej bez wykonania metody Greena należałoby sparametryzować funkcje w każdym odcinku regionu. Oznacza to, że dla rozdzielczości wykonaj 3 całki parametryzowane. Jest to wystarczający dowód na skuteczność, którą Robert Green wniósł ze swoim twierdzeniem do rachunku różniczkowego.
Bibliografia
- Wprowadzenie do mechaniki kontinuum. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 lipca. 2009
- Rachunek wieloczynnikowy. James Stewart. Cengage Learning, 22 marca 2011
- Nieformalna historia twierdzenia Greena i powiązanych idei. James Joseph Cross. Wydział Matematyki, Uniwersytet w Melbourne, 1975
- Przewodzenie ciepła za pomocą funkcji Greens. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 lipca 2010
- Zastosowanie twierdzenia Greena do ekstremizacji całek liniowych. Centrum Informacji Technicznej Obrony, 1961