TWIERDZENIE TORRICELLEGO: Z CZEGO SIĘ SKŁADA, WZORY I ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Twierdzenie Torricielli lub zasada Torricielli stwierdza się, że szybkość przepływu cieczy wychodzące z otworu w ścianie zbiornika lub pojemnika, jest identyczny z tym uzyskuje przedmiotem zrzucając swobodnie z wysokości równej powierzchni wolne od cieczy do otworu.

Twierdzenie ilustruje poniższy rysunek:

Ilustracja twierdzenia Torricellego. Źródło: wykonane samodzielnie.

Ze względu na twierdzenie Torricellego możemy następnie stwierdzić, że prędkość wylotu cieczy przez otwór, który znajduje się na wysokości h poniżej swobodnej powierzchni cieczy, jest określona następującym wzorem:

Gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim, a h jest wysokością od otworu do swobodnej powierzchni cieczy.

Evangelista Torricelli był fizykiem i matematykiem urodzonym w mieście Faenza we Włoszech w 1608 roku. Torricelliemu przypisuje się wynalezienie barometru rtęciowego i uznaniem jest jednostka ciśnienia zwana „torr”, odpowiadająca jednemu milimetrowi słupa rtęci (mm Hg).

Dowód twierdzenia

W twierdzeniu Torricellego i we wzorze określającym prędkość zakłada, że ​​straty lepkości są pomijalne, podobnie jak przy swobodnym spadku zakłada się, że tarcie spowodowane powietrzem otaczającym spadający obiekt jest pomijalne.

Powyższe założenie jest w większości przypadków uzasadnione i obejmuje również zachowanie energii mechanicznej.

Aby udowodnić to twierdzenie, najpierw znajdziemy wzór na prędkość obiektu, który jest uwalniany z zerową prędkością początkową, z tej samej wysokości, co powierzchnia cieczy w zbiorniku.

Zasada zachowania energii zostanie zastosowana w celu uzyskania prędkości spadającego obiektu właśnie wtedy, gdy opuści on wysokość h równą wysokości od otworu do swobodnej powierzchni.

Ponieważ nie ma strat na skutek tarcia, ważne jest zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej. Załóżmy, że spadający obiekt ma masę m, a wysokość h jest mierzona od poziomu wylotu cieczy.

Spadający obiekt

Kiedy obiekt jest uwalniany z wysokości równej wysokości swobodnej powierzchni cieczy, jego energia jest tylko potencjałem grawitacyjnym, ponieważ jego prędkość wynosi zero, a zatem jego energia kinetyczna wynosi zero. Energia potencjalna Ep jest określona wzorem:

Ep = mgh

Kiedy przechodzi przed dziurą, jego wysokość wynosi zero, wtedy energia potencjalna wynosi zero, więc ma tylko energię kinetyczną Ec podaną przez:

Ec = ½ mv ²

Ponieważ energia jest zachowana Ep = Ec z tego, co jest uzyskiwane:

½ mv ² = mgh

Rozwiązując dla prędkości v otrzymujemy wzór Torricellego:

Płyn wydostający się z otworu

Następnie znajdziemy prędkość wylotową cieczy przez otwór, aby pokazać, że pokrywa się ona z tą, która została właśnie obliczona dla swobodnie spadającego obiektu.

W tym celu opieramy się na zasadzie Bernoulliego, która jest niczym innym jak zachowaniem energii zastosowanej do płynów.

Zasada Bernoulliego jest sformułowana w następujący sposób:

Interpretacja tego wzoru jest następująca:

• Pierwszy człon reprezentuje energię kinetyczną płynu na jednostkę objętości
• Drugi przedstawia pracę wykonaną przez ciśnienie na jednostkę pola przekroju poprzecznego
• Trzeci reprezentuje grawitacyjną energię potencjalną na jednostkę objętości płynu.

Ponieważ wychodzimy z założenia, że ​​jest to płyn idealny, w warunkach bez turbulencji przy stosunkowo niskich prędkościach, należy stwierdzić, że energia mechaniczna na jednostkę objętości płynu jest stała we wszystkich jego obszarach lub przekrojach.

W tym wzorze V jest prędkością płynu, ρ gęstością płynu, P - ciśnieniem iz pozycją pionową.

Poniższy rysunek przedstawia formułę Torricellego, wychodząc z zasady Bernoulliego.

Stosujemy wzór Bernoulliego na swobodną powierzchnię cieczy, którą oznaczamy przez (1) i na otworze wylotowym, który oznaczamy przez (2). Zerowy poziom głowicy został wybrany równo z otworem wylotowym.

Przy założeniu, że przekrój w (1) jest znacznie większy niż w (2), możemy zatem przyjąć, że prędkość opadania cieczy w (1) jest praktycznie pomijalna.

Z tego powodu ustalono V ₁ = 0, ciśnienie, któremu poddawana jest ciecz w (1) jest ciśnieniem atmosferycznym, a wysokość mierzona od kryzy wynosi h.

Dla odcinka wylotowego (2) zakładamy, że prędkość wylotowa wynosi v, ciśnienie, jakim jest poddawana ciecz na wylocie, jest również ciśnieniem atmosferycznym, a wysokość wylotu wynosi zero.

Zastąp wartości odpowiadające sekcjom (1) i (2) we wzorze Bernoulliego i ustaw je na równe. Równość obowiązuje, ponieważ zakładamy, że płyn jest idealny i nie ma lepkich strat tarcia. Po uproszczeniu wszystkich terminów uzyskuje się prędkość w otworze wylotowym.

Ramka powyżej pokazuje, że uzyskany wynik jest taki sam, jak w przypadku swobodnie spadającego przedmiotu,

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

I ) Mała rura wylotowa zbiornika na wodę znajduje się 3 m poniżej powierzchni wody. Oblicz prędkość wypływu wody.

Rozwiązanie:

Poniższy rysunek pokazuje, w jaki sposób formuła Torricellego jest stosowana w tym przypadku.

Ćwiczenie 2

II ) Zakładając, że rura wylotowa zbiornika z poprzedniego ćwiczenia ma średnicę 1 cm, obliczyć wypływ wody.

Rozwiązanie:

Natężenie przepływu to objętość cieczy wypływającej na jednostkę czasu i jest obliczana po prostu przez pomnożenie powierzchni otworu wylotowego przez prędkość wylotową.

Poniższy rysunek przedstawia szczegóły obliczeń.

Ćwiczenie 3

III ) Określ, jak wysoko jest wolna powierzchnia wody w zbiorniku, jeśli wiesz

że w otworze na dnie zbiornika woda wypływa z prędkością 10 m / s.

Rozwiązanie:

Nawet jeśli otwór znajduje się na dnie pojemnika, nadal można zastosować formułę Torricellego.

Poniższy rysunek przedstawia szczegóły obliczeń.

Bibliografia

1. Wikipedia. Twierdzenie Torricellego.
2. Hewitt, P. Konceptualne nauki fizyczne. Wydanie piąte .119.
3. Młody, Hugh. 2016. Fizyka uniwersytecka Sears-Zemansky'ego z fizyką współczesną. 14. wyd. Pearson. 384.