TRANSFORMATA LAPLACE'A: DEFINICJA, HISTORIA I DO CZEGO SŁUŻY - MATEMATYKA - 2026

Laplace'a została w ostatnich latach duże znaczenie w badaniach inżynierii, matematyki, fizyki, wśród innych dziedzinach naukowych, jak również jest bardzo interesujące w teorii, zapewnia prosty sposób rozwiązywać problemy, które pochodzą z nauka i inżynieria.

Pierwotnie transformata Laplace'a została zaprezentowana przez Pierre-Simóna Laplace'a w jego badaniu teorii prawdopodobieństwa i początkowo była traktowana jako obiekt matematyczny o czysto teoretycznym znaczeniu.

Obecne zastosowania pojawiają się, gdy różni matematycy próbowali formalnie uzasadnić „zasady operacyjne” używane przez Heaviside'a w badaniu równań teorii elektromagnetycznej.

Definicja

Niech f będzie funkcją zdefiniowaną dla t ≥ 0. Transformata Laplace'a jest zdefiniowana następująco:

Mówi się, że transformata Laplace'a istnieje, jeśli poprzednia całka jest zbieżna, w przeciwnym razie mówi się, że transformata Laplace'a nie istnieje.

Ogólnie rzecz biorąc, małe litery są używane do oznaczenia funkcji, która ma zostać przekształcona, a duża litera odpowiada jej przekształceniu. W ten sposób będziemy mieli:

Przykłady

Rozważmy stałą funkcję f (t) = 1. Mamy jej transformację:

Ilekroć całka jest zbieżna, to znaczy zawsze, gdy s> 0. W przeciwnym razie, s <0, całka rozbiega się.

Niech g (t) = t. Jego transformata Laplace'a jest podana przez

Całkując przez części i wiedząc, że te ^-st dąży do 0, gdy dąży do nieskończoności i s> 0, razem z poprzednim przykładem otrzymujemy:

Przekształcenie może istnieć lub nie, na przykład dla funkcji f (t) = 1 / t całka definiująca jej transformatę Laplace'a nie jest zbieżna, a zatem jej transformacja nie istnieje.

Warunki wystarczające do zagwarantowania, że ​​transformata Laplace'a funkcji f istnieje, są takie, że f jest odcinkowo ciągła dla t ≥ 0 i ma rząd wykładniczy.

Mówi się, że funkcja jest odcinkowo ciągła przez t ≥ 0, gdy dla dowolnego przedziału z a> 0 istnieje skończona liczba punktów t _k, gdzie f ma nieciągłości i jest ciągła w każdym podprzedziale.

Z drugiej strony mówi się, że funkcja jest wykładnicza c, jeśli istnieją stałe rzeczywiste M> 0, c i T> 0 takie, że:

Jako przykłady mamy, że f (t) = t ² jest rzędu wykładniczego, ponieważ -t ² - <e ^3t dla wszystkich t> 0.

W sposób formalny mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie (wystarczające warunki do istnienia)

Jeśli f jest częściowo ciągłą funkcją dla t> 0 i wykładniczego rzędu c, to transformata Laplace'a istnieje dla s> c.

Należy zauważyć, że jest to warunek wystarczalności, to znaczy może się zdarzyć, że istnieje funkcja, która nie spełnia tych warunków, a mimo to istnieje jej transformata Laplace'a.

Przykładem tego jest funkcja f (t) = t ^-1/2, która nie jest ^odcinkowo ciągła dla t ≥ 0, ale istnieje jej transformata Laplace'a.

Transformacja Laplace'a niektórych podstawowych funkcji

W poniższej tabeli przedstawiono przekształcenia Laplace'a najczęściej używanych funkcji.

Historia

Transformacja Laplace'a zawdzięcza swoją nazwę Pierre-Simon Laplace, francuskiemu matematykowi i astronomowi teoretycznemu, który urodził się w 1749 roku i zmarł w 1827 roku. Jego sława była taka, że ​​był znany jako Newton Francji.

W 1744 roku Leonard Euler poświęcił swoje studia całkom z formą

jako rozwiązania zwykłych równań różniczkowych, ale szybko porzucił to badanie. Później Joseph Louis Lagrange, który bardzo podziwiał Eulera, również zbadał te typy całek i powiązał je z teorią prawdopodobieństwa.

1782, Laplace

W 1782 Laplace zaczął badać takie całki, jak rozwiązania równań różniczkowych, a według historyków w 1785 r. Postanowił przeformułować problem, co później dało początek transformacjom Laplace'a w dzisiejszym rozumieniu.

Wprowadzona w dziedzinę teorii prawdopodobieństwa, wzbudziła wówczas niewielkie zainteresowanie naukowców i była postrzegana jedynie jako obiekt matematyczny o znaczeniu teoretycznym.

Oliver Heaviside

Dopiero w połowie XIX wieku angielski inżynier Oliver Heaviside odkrył, że operatory różniczkowe można traktować jako zmienne algebraiczne, dając w ten sposób transformacje Laplace'a ich współczesne zastosowanie.

Oliver Heaviside był angielskim fizykiem, inżynierem elektrykiem i matematykiem, który urodził się w Londynie w 1850 r., A zmarł w 1925 r. Próbując rozwiązać problemy równań różniczkowych zastosowane w teorii drgań i korzystając z badań Laplace'a, zaczął kształtować Współczesne zastosowania transformacji Laplace'a.

Wyniki przedstawione przez Heaviside'a szybko rozprzestrzeniły się w ówczesnej społeczności naukowej, ale ponieważ jego praca nie była rygorystyczna, szybko został skrytykowany przez bardziej tradycyjnych matematyków.

Jednak użyteczność pracy Heaviside'a w rozwiązywaniu równań w fizyce sprawiła, że ​​jego metody stały się popularne wśród fizyków i inżynierów.

Pomimo tych niepowodzeń i po kilkudziesięciu latach nieudanych prób, na początku XX wieku można było rygorystycznie uzasadnić zasady operacyjne podane przez Heaviside.

Próby te zaowocowały wysiłkiem różnych matematyków, takich jak między innymi Bromwich, Carson, van der Pol.

Nieruchomości

Wśród właściwości transformaty Laplace'a wyróżniają się:

Liniowość

Niech c1 i c2 będą stałymi, a f (t) i g (t) funkcjami, których transformaty Laplace'a są odpowiednio F (s) i G (s), to mamy:

Ze względu na tę właściwość mówi się, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym.

Przykład

Pierwsze twierdzenie o tłumaczeniu

Jeśli zdarzy się, że:

A „a” to dowolna liczba rzeczywista, więc:

Przykład

Ponieważ transformata Laplace'a z cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), to:

Drugie twierdzenie o tłumaczeniu

tak

Więc

Przykład

Jeśli f (t) = t ^ 3, to F (s) = 6 / s ^ 4. A zatem transformacja

jest G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Zmiana skali

tak

A „a” jest wartością niezerową, musimy to zrobić

Przykład

Ponieważ transformacja f (t) = sin (t) to F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), mamy to

Transformata pochodnych Laplace'a

Jeśli f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ są ciągłe przez t ≥ 0 i są wykładnicze, a f ⁽ⁿ⁾ (t) jest ciągłe odcinkowo przez t ≥ 0, to

Transformata Laplace'a całek

tak

Więc

Mnożenie przez t

Jeśli musimy

Więc

Podział według t

Jeśli musimy

Więc

Funkcje okresowe

Niech f będzie funkcją okresową z okresem T> 0, czyli f (t + T) = f (t), to

Zachowanie F (s) jako s dąży do nieskończoności

Jeśli f jest ciągła w częściach i wykładniczym porządku i

Więc

Przekształcenia odwrotne

Kiedy zastosujemy transformatę Laplace'a do funkcji f (t), otrzymamy F (s), które reprezentuje tę transformację. W ten sam sposób możemy powiedzieć, że f (t) jest odwrotną transformatą Laplace'a F (s) i jest zapisane jako

Wiemy, że transformaty Laplace'a f (t) = 1 i g (t) = t to odpowiednio F (s) = 1 / s i G (s) = 1 / s ² , więc mamy to

Niektóre typowe odwrotne przekształcenia Laplace'a są następujące

Co więcej, odwrotna transformata Laplace'a jest liniowa, to znaczy to prawda

Ćwiczenie

Odnaleźć

Aby rozwiązać to ćwiczenie, musimy dopasować funkcję F (s) do jednej z poprzednich tabel. W tym przypadku, jeśli weźmiemy + 1 = 5 i używając właściwości liniowości transformacji odwrotnej, mnożymy i dzielimy przez 4! Dostać

Dla drugiej transformacji odwrotnej stosujemy ułamki częściowe, aby przepisać funkcję F (s), a następnie właściwość liniowości, uzyskując

Jak widać z tych przykładów, często zdarza się, że obliczana funkcja F (s) nie pasuje dokładnie do żadnej z funkcji podanych w tabeli. W takich przypadkach, jak widać, wystarczy przepisać funkcję, aż osiągnie odpowiednią postać.

Zastosowania transformaty Laplace'a

Równania różniczkowe

Głównym zastosowaniem transformacji Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych.

Korzystając z własności transformacji pochodnej, jest to jasne

Y pochodnych n-1 oszacowanych przy t = 0.

Ta właściwość sprawia, że ​​transformacja jest bardzo przydatna do rozwiązywania problemów z wartością początkową, w których występują równania różniczkowe o stałych współczynnikach.

Poniższe przykłady pokazują, jak używać transformaty Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę następujący problem z wartością początkową

Użyj transformaty Laplace'a, aby znaleźć rozwiązanie.

Stosujemy transformatę Laplace'a do każdego elementu równania różniczkowego

Posiadamy własność transformacji pochodnej

Opracowując wszystkie dostępne wyrażenia i usuwając Y (y)

Używając ułamków częściowych do przepisania prawej strony równania, otrzymujemy

Wreszcie naszym celem jest znalezienie funkcji y (t), która spełnia równanie różniczkowe. Wynik daje nam zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a

Przykład 2

Rozwiązać

Podobnie jak w poprzednim przypadku, stosujemy transformację po obu stronach równania i oddzielamy wyraz za wyrazem.

W ten sposób mamy w rezultacie

Podstawianie podanymi wartościami początkowymi i rozwiązanie Y (s)

Używając prostych ułamków możemy przepisać równanie w następujący sposób

A zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a daje nam wynik

W tych przykładach można by błędnie stwierdzić, że ta metoda nie jest dużo lepsza niż tradycyjne metody rozwiązywania równań różniczkowych.

Zaletą transformaty Laplace'a jest to, że nie trzeba używać zmienności parametrów ani martwić się różnymi przypadkami metody nieokreślonych współczynników.

Ponadto przy rozwiązywaniu problemów z wartością początkową tą metodą od początku korzystamy z warunków początkowych, więc nie ma potrzeby wykonywania innych obliczeń w celu znalezienia konkretnego rozwiązania.

Układy równań różniczkowych

Transformaty Laplace'a można również użyć do znalezienia rozwiązań równoczesnych równań różniczkowych zwyczajnych, jak pokazuje poniższy przykład.

Przykład

Rozwiązać

Przy warunkach początkowych x (0) = 8 iy (0) = 3.

Jeśli musimy

Więc

Rozwiązanie daje nam wynik

I stosując odwrotną transformatę Laplace'a, którą mamy

Mechanika i obwody elektryczne

Transformata Laplace'a ma ogromne znaczenie w fizyce, ma głównie zastosowania w mechanice i obwodach elektrycznych.

Prosty obwód elektryczny składa się z następujących elementów

Przełącznik, bateria lub źródło, cewka indukcyjna, rezystor i kondensator. Gdy przełącznik jest zamknięty, wytwarzany jest prąd elektryczny oznaczony jako i (t). Ładunek na kondensatorze jest oznaczony przez q (t).

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, napięcie wytwarzane przez źródło E w obwodzie zamkniętym musi być równe sumie każdego ze spadków napięcia.

Prąd elektryczny i (t) jest powiązany z ładunkiem q (t) na kondensatorze przez i = dq / dt. Z drugiej strony spadek napięcia w każdym z elementów definiuje się następująco:

Spadek napięcia na rezystorze wynosi iR = R (dq / dt)

Spadek napięcia na cewce wynosi L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Spadek napięcia na kondensatorze wynosi q / C

Mając te dane i stosując drugie prawo Kirchhoffa do prostego obwodu zamkniętego, otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu, które opisuje układ i pozwala nam określić wartość q (t).

Przykład

Cewka indukcyjna, kondensator i rezystor są podłączone do baterii E, jak pokazano na rysunku. Cewka ma 2 henry, kondensator ma 0,02 farady, a rezystancja wynosi 16 omów. W chwili t = 0 obwód jest zamknięty. Znajdź ładunek i prąd w dowolnym momencie t> 0, jeśli E = 300 woltów.

Mamy, że równanie różniczkowe opisujące ten obwód jest następujące

Gdzie warunki początkowe to q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Stosując transformatę Laplace'a otrzymujemy to

I rozwiązywanie dla Q (t)

Następnie stosując otrzymaną odwrotną transformatę Laplace'a

Bibliografia

1. G. Holbrook, J. (1987). Transformata Laplace'a dla inżynierów elektroników. Limusa.
2. Ruiz, LM i Hernandez, MP (2006). Równania różniczkowe i transformata Laplace'a z aplikacjami. Publikacyjne UPV.
3. Simmons, GF (1993). Równania różniczkowe z zastosowaniami i uwagami historycznymi. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace przekształca. McGraw-Hill.
5. Zill, DG i Cullen, MR (2008). Równania różniczkowe z problemami wartości granicznej. Cengage Learning Editores, SA