OSTRY TRÓJKĄT: CECHY I TYPY - MATEMATYKA - 2026

W ostrych trójkąty są te, których trzy wewnętrzne kąty ostre kąty; to znaczy, miara każdego z tych kątów jest mniejsza niż 90 stopni. Nie mając żadnego kąta prostego, otrzymujemy twierdzenie Pitagorasa dla tej figury geometrycznej.

Dlatego jeśli chcemy mieć jakąś informację o którymkolwiek z jego boków lub kątów, konieczne jest skorzystanie z innych twierdzeń, które pozwalają nam mieć dostęp do wspomnianych danych. Te, których możemy użyć, to twierdzenie o sinusie i twierdzenie o cosinusie.

cechy

Wśród cech charakterystycznych, które ma ta figura geometryczna, możemy wyróżnić te, które wynikają z prostego faktu bycia trójkątem. Wśród nich mamy:

- Trójkąt to wielokąt, który ma trzy boki i trzy kąty.

- Suma trzech wewnętrznych kątów wynosi 180 °.

- Suma dwóch jego boków jest zawsze większa niż trzecia.

Jako przykład spójrzmy na następujący trójkąt ABC. Ogólnie rzecz biorąc, identyfikujemy jego boki małą literą, a kąty dużą literą, w taki sposób, że jedna strona i jej przeciwny kąt mają tę samą literę.

Z podanych już cech wiemy, że:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b oraz b + c> a

Główną cechą odróżniającą ten typ trójkąta od pozostałych jest to, że, jak już wspomnieliśmy, jego kąty wewnętrzne są ostre; to znaczy, miara każdego z jego kątów jest mniejsza niż 90 °.

Ostre trójkąty, razem z rozwartymi trójkątami (te, w których jeden z ich kątów ma miarę większą niż 90 °), są częścią zbioru ukośnych trójkątów. Ten zestaw składa się z trójkątów, które nie są kątami prostymi.

Ponieważ trójkąty ukośne są częścią, musimy być w stanie rozwiązywać problemy dotyczące trójkątów ostrych, musimy skorzystać z twierdzenia o sinusie i twierdzeniu o cosinusie.

Twierdzenie o sinusie

Twierdzenie o sinusoidzie mówi nam, że stosunek boku do sinusa jego przeciwnego kąta jest równy dwukrotności promienia okręgu utworzonego przez trzy wierzchołki wspomnianego trójkąta. To jest do powiedzenia:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Twierdzenie cosinusowe

Z drugiej strony, twierdzenie cosinus daje nam te trzy równości dla dowolnego trójkąta ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Te twierdzenia są również znane odpowiednio jako prawo sinusa i prawo cosinusa.

Inną cechą charakterystyczną, którą możemy podać trójkątom ostrym, jest to, że dwa z nich są równe, jeśli spełniają którekolwiek z poniższych kryteriów:

- Jeśli mają te same trzy strony.

- Jeśli mają jeden bok i dwa równe kąty względem siebie.

- Jeśli mają dwa równe boki i kąt.

Rodzaje

Ostre trójkąty można podzielić na podstawie ich boków. Mogą to być:

Ostre trójkąty równoboczne

Są to trójkąty ostre, których wszystkie boki są równe, a zatem wszystkie ich kąty wewnętrzne mają tę samą wartość, czyli A = B = C = 60 °.

Jako przykład weźmy następujący trójkąt, którego boki a, b i c mają wartość 4.

Ostre trójkąty równoramienne

Te trójkąty, oprócz tego, że mają ostre kąty wewnętrzne, charakteryzują się tym, że mają dwa równe boki, a trzeci, który ogólnie przyjmuje się jako podstawę, jest inny.

Przykładem tego typu trójkątów może być taki, którego podstawa wynosi 3, a jego pozostałe dwa boki mają wartość 5. Przy tych pomiarach miałby on przeciwne kąty do równych boków o wartości 72,55 ° i przeciwny kąt podstawa wynosiłaby 34,9 °.

Scalene ostre trójkąty

To są trójkąty, które mają różne boki po dwa. Dlatego wszystkie jego kąty, oprócz tego, że są mniejsze niż 90 °, są różne od dwóch do dwóch.

Trójkąt DEF (którego miary to d = 4, e = 5 if = 6, a jego kąty to D = 41,41 °, E = 55,79 ° i F = 82,8 °) jest dobrym przykładem trójkąta ostrego różnoboczny.

Rozdzielczość trójkątów ostrych

Jak powiedzieliśmy wcześniej, do rozwiązywania problemów dotyczących trójkątów ostrych konieczne jest stosowanie twierdzeń o sinusie i cosinusie.

Przykład 1

Mając trójkąt ABC o kątach A = 30 °, B = 70 ° i boku a = 5 cm, chcemy poznać wartość kąta C i boków b i c.

Pierwszą rzeczą, jaką robimy, jest fakt, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 °, aby otrzymać wartość kąta C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Czyścimy C i mamy:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Ponieważ znamy już trzy kąty i jeden bok, możemy użyć twierdzenia o sinusie, aby określić wartość pozostałych boków. Zgodnie z twierdzeniem mamy:

a / sin (A) = b / sin (B) i a / sin (A) = c / (sin (C)

Wyodrębniamy b z równania i pozostaje nam:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Teraz musimy tylko obliczyć wartość c. Postępujemy analogicznie jak w poprzednim przypadku:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

W ten sposób otrzymujemy wszystkie dane trójkąta. Jak widać, ten trójkąt należy do kategorii trójkąta ostrego skalenicznego.

Przykład 2

Mając trójkąt DEF o bokach d = 4cm, e = 5cm if = 6cm, chcemy poznać wartość kątów tego trójkąta.

W tym przypadku użyjemy prawa cosinusa, które mówi nam, że:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Z tego równania możemy obliczyć cos (D), co daje nam wynik:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Stąd mamy D≈ 41,41 °

Korzystając teraz z twierdzenia o senomie, mamy następujące równanie:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Rozwiązując grzech (E), mamy:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Stąd mamy E≈55,79 °

Wreszcie, przyjmując, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 °, otrzymamy F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (przedruk red.). Postęp.
2. Leake, D. (2006). Trójkąty (ilustrowane red.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Płaska geometria metryczna CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologia CR.
5. Sullivan, M. (1997). Trygonometria i geometria analityczna. Edukacja Pearson.