TRÓJKĄT RÓWNORAMIENNY: CHARAKTERYSTYKA, WZÓR I POWIERZCHNIA, OBLICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Równoramienny trójkąt jest wielokąt z trzech stron, przy czym dwa z nich mają ten sam środek, a trzeci bok inna miara. Ta ostatnia strona nazywana jest podstawą. Ze względu na tę cechę nadano mu tę nazwę, która po grecku oznacza „równe nogi”

Trójkąty to wielokąty uważane za najprostsze w geometrii, ponieważ składają się z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. To te, które mają najmniejszą liczbę boków i kątów w stosunku do innych wielokątów, jednak ich zastosowanie jest bardzo szerokie.

Charakterystyka trójkątów równoramiennych

Trójkąt równoramienny został sklasyfikowany za pomocą miary jego boków jako parametru, ponieważ dwa jego boki są przystające (mają tę samą długość).

Na podstawie amplitudy kątów wewnętrznych trójkąty równoramienne klasyfikuje się jako:

• Trójkąt równoramienny : dwa jego boki są równe. Jeden narożnik jest prosta (90 ⁱ ) i inni sama (45 ^lub każdego)
• Trójkąt rozwarty równoramienny : dwa jego boki są równe. Jeden z kątów jest rozwarty (> 90 ^lub ).
• Ostry trójkąt równoramienny : dwa jego boki są równe. Wszystkie kąty są ostre (<90 ^lub ), gdzie oba mają tę samą miarę.

składniki

• Mediana : jest to linia, która zaczyna się od środka jednej strony i dochodzi do przeciwległego wierzchołka. Trzy środkowe spotykają się w punkcie zwanym środkiem ciężkości lub środkiem ciężkości.
• Dwusieczna : jest to promień, który dzieli kąt każdego wierzchołka na dwa równe kąty. Dlatego nazywana jest osią symetrii, a tego typu trójkąty mają tylko jedną.
• Dwusieczna : jest to odcinek prostopadły do ​​boku trójkąta, którego początek znajduje się w środku trójkąta. W trójkącie znajdują się trzy mediatrie, które spotykają się w miejscu zwanym środkiem obrzezania.
• Wysokość : jest to linia biegnąca od wierzchołka do przeciwległej strony, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie zwanym ortocentrum.

Nieruchomości

Trójkąty równoramienne są definiowane lub identyfikowane, ponieważ mają kilka właściwości, które je reprezentują, wywodzących się z twierdzeń zaproponowanych przez wielkich matematyków:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180 ^° .

Suma boków

Suma wymiarów dwóch boków musi zawsze być większa niż miara trzeciego boku a + b> c.

Przystające strony

Trójkąty równoramienne mają dwa boki o tej samej mierze lub długości; to znaczy są przystające, a trzecia strona różni się od nich.

Przystające kąty

Trójkąty równoramienne są również znane jako trójkąty równoramienne, ponieważ mają dwa kąty, które mają tę samą miarę (przystającą). Znajdują się one u podstawy trójkąta, naprzeciw boków o tej samej długości.

W związku z tym wygenerowano twierdzenie, które stwierdza, że:

„Jeśli trójkąt ma dwa przystające boki, kąty przeciwległe do tych boków również będą przystające”. Dlatego też, jeśli trójkąt jest równoramienny, kąty jego podstaw są przystające.

Przykład:

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC. Rysując jego dwusieczną od wierzchołka kąta B do podstawy, trójkąt dzieli się na dwa równe trójkąty BDA i BDC:

W ten sposób kąt wierzchołka B został również podzielony na dwa równe kąty. Dwusieczna jest teraz wspólną stroną (BD) między tymi dwoma nowymi trójkątami, podczas gdy boki AB i BC są przystającymi bokami. Tak więc mamy przypadek kongruencji bok, kąt, bok (LAL).

To pokazuje, że kąty wierzchołków A i C mają tę samą miarę, jak również można wykazać, że skoro trójkąty BDA i BDC są przystające, boki AD i DC są również przystające.

Wysokość, mediana, dwusieczna i dwusieczna pokrywają się

Linia poprowadzona od wierzchołka przeciwległego do podstawy do środka podstawy trójkąta równoramiennego jest jednocześnie wysokością, środkową i dwusieczną, a także dwusieczną względem przeciwnego kąta podstawy.

Wszystkie te segmenty pokrywają się w jednym, który je reprezentuje.

Przykład:

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktem środkowym M, który dzieli podstawę na dwa segmenty BM i CM.

Rysując odcinek od punktu M do przeciwległego wierzchołka, z definicji uzyskuje się medianę AM, która jest odniesiona do wierzchołka A i boku BC.

Ponieważ segment AM dzieli trójkąt ABC na dwa równe trójkąty AMB i AMC, oznacza to, że przypadek zbieżności bok, kąt, bok będzie miał, a zatem AM będzie również dwusieczną BÂC.

Dlatego dwusieczna zawsze będzie równa medianie i odwrotnie.

Segment AM tworzy kąty, które mają tę samą miarę dla trójkątów AMB i AMC; to znaczy, są one uzupełniające w taki sposób, że miarą każdego z nich będzie:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^lub

2 _* Med. (AMC) = 180 ^lub

Med. (AMC) = 180 ^lub ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^lub

Wiadomo, że kąty utworzone przez segment AM w stosunku do podstawy trójkąta są proste, co wskazuje, że segment ten jest całkowicie prostopadły do ​​podstawy.

Dlatego reprezentuje wysokość i dwusieczną, wiedząc, że M jest punktem środkowym.

Dlatego linia AM:

• Reprezentuje na wysokości pne.
• Jest średniej wielkości.
• Jest zawarty w dwusiecznej BC.
• Jest to dwusieczna kąta wierzchołka Â

Względne wysokości

Wysokości odnoszące się do równych boków również mają ten sam wymiar.

Ponieważ trójkąt równoramienny ma dwa równe boki, ich dwie odpowiednie wysokości również będą równe.

Ortocenter, barycenter, incenter i zbieżny środek do obrzezania

Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna w stosunku do podstawy są reprezentowane w tym samym czasie przez ten sam segment, ortocentrum, środkowe środkowe i środek obwodowy będą punktami współliniowymi, to znaczy będą znajdować się na tej samej linii:

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany przez dodanie boków.

Ponieważ w tym przypadku trójkąt równoramienny ma dwa boki o tej samej miary, jego obwód oblicza się za pomocą następującego wzoru:

P = 2 _* (strona a) + (strona b).

Jak obliczyć wysokość?

Wysokość jest linią prostopadłą do podstawy, dzieli trójkąt na dwie równe części, gdy rozciąga się do przeciwległego wierzchołka.

Wysokość przedstawia przeciwną nogę (a), środek podstawy (b / 2) przylegającą nogę, a bok „a” przedstawia przeciwprostokątną.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można określić wartość wysokości:

a ² + b ² = c ²

Gdzie:

a ² = wysokość (h).

b ² = b / 2.

c ² = strona a.

Podstawiając te wartości do twierdzenia Pitagorasa i rozwiązując wysokość, otrzymujemy:

h ² + (b / 2) ² = a ²

H ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - b ² /4

H = √ (a ² - b ² /4).

Jeśli znany jest kąt utworzony przez przystające boki, wysokość można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Jak obliczyć powierzchnię?

Pole powierzchni trójkątów jest zawsze obliczane według tego samego wzoru, mnożąc podstawę przez wysokość i dzieląc przez dwa:

Istnieją przypadki, w których znane są tylko pomiary dwóch boków trójkąta i kąt utworzony między nimi. W takim przypadku, aby określić obszar, należy zastosować stosunki trygonometryczne:

Jak obliczyć podstawę trójkąta?

Ponieważ trójkąt równoramienny ma dwa równe boki, aby określić wartość jego podstawy, musisz znać przynajmniej miarę wysokości lub jeden z jego kątów.

Znając wysokość, stosuje się twierdzenie Pitagorasa:

a ² + b ² = c ²

Gdzie:

a ² = wysokość (h).

c ² = strona a.

b ² = b / 2, nie jest znane.

Wyodrębniamy b ² ze wzoru i otrzymujemy:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Ponieważ ta wartość odpowiada połowie podstawy, należy ją pomnożyć przez dwa, aby uzyskać pełną miarę podstawy trójkąta równoramiennego:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

W przypadku, gdy znana jest tylko wartość jego równych boków i kąt między nimi, stosuje się trygonometrię, rysując linię od wierzchołka do podstawy, która dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne.

W ten sposób połowa podstawy jest obliczana za pomocą:

Możliwe jest również, że znana jest tylko wartość wysokości i kąta wierzchołka, który jest przeciwny do podstawy. W takim przypadku za pomocą trygonometrii można wyznaczyć podstawę:

Ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Znajdź pole trójkąta równoramiennego ABC, wiedząc, że dwa jego boki mają 10 cm, a trzeci 12 cm.

Rozwiązanie

Aby znaleźć pole trójkąta, konieczne jest obliczenie wysokości za pomocą wzoru na powierzchnię, który jest powiązany z twierdzeniem Pitagorasa, ponieważ wartość kąta utworzonego między równymi bokami nie jest znana.

Mamy następujące dane trójkąta równoramiennego:

• Równe boki (a) = 10 cm.
• Podstawa (b) = 12 cm.

Wartości są podstawiane we wzorze:

Drugie ćwiczenie

Długość dwóch równych boków trójkąta równoramiennego wynosi 42 cm, połączenie tych boków tworzy kąt 130 ^lub . Określ wartość trzeciego boku, pole tego trójkąta i obwód.

Rozwiązanie

W tym przypadku znane są wymiary boków i kąt między nimi.

Aby poznać wartość brakującego boku, to znaczy podstawy tego trójkąta, rysuje się do niego prostopadłą linię, dzieląc kąt na dwie równe części, po jednej dla każdego utworzonego trójkąta prostokątnego.

• Równe boki (a) = 42 cm.
• Kąt (Ɵ) = 130 ^o

Teraz przez trygonometrię obliczana jest wartość połowy podstawy, co odpowiada połowie przeciwprostokątnej:

Aby obliczyć powierzchnię, konieczne jest poznanie wysokości tego trójkąta, którą można obliczyć za pomocą trygonometrii lub twierdzenia Pitagorasa, teraz, gdy wartość podstawy została już określona.

W trygonometrii będzie to:

Obwód jest obliczany:

P = 2 _* (strona a) + (strona b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Ćwiczenie trzecie

Oblicz kąty wewnętrzne trójkąta równoramiennego, wiedząc, że kąt podstawy wynosi  = 55 ^lub

Rozwiązanie

Aby znaleźć dwa brakujące kąty (Ê i Ô), konieczne jest zapamiętanie dwóch właściwości trójkątów:

• Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta będzie zawsze = 180 ^lub :

 + Ê + Ô = 180 ^lub

• W trójkącie równoramiennym kąty podstawy są zawsze przystające, to znaczy mają tę samą miarę, dlatego:

 = Ô

Ê = 55 ^lub

Aby określić wartość kąta Ê, podstawiamy wartości pozostałych kątów w pierwszej regule i rozwiązujemy przez Ê:

55 ^lub + 55 ^lub + Ô = 180 ^lub

110 ^lub + Ô = 180 ^lub

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Bibliografia

1. Álvarez, E. (2003). Elementy geometrii: z licznymi ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Rysunek techniczny: zeszyt ćwiczeń.
3. Anioł, AR (2007). Algebra elementarna. Edukacja Pearson.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Hawana: Kultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematyka 2.
7. Tuma, J. (1998). Podręcznik matematyki inżynierskiej. Wolfram MathWorld.