TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY: CHARAKTERYSTYKA, WŁAŚCIWOŚCI, WZORY, POWIERZCHNIA - MATEMATYKA - 2025

Trójkąt równoboczny jest wielokąt z trzech stron, gdzie wszyscy są równi; to znaczy mają tę samą miarę. Dla tej cechy nadano jej nazwę równoboczny (równe boki).

Trójkąty to wielokąty uważane za najprostsze w geometrii, ponieważ składają się z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. W przypadku trójkąta równobocznego, ponieważ ma on równe boki, oznacza to, że jego trzy kąty również będą.

Przykład trójkąta równobocznego

Charakterystyka trójkątów równobocznych

- równe boki

Trójkąty równoboczne to płaskie i zamknięte figury, złożone z trzech odcinków linii. Trójkąty są klasyfikowane według ich cech, w odniesieniu do ich boków i kątów; równoboczny został sklasyfikowany za pomocą miary jego boków jako parametru, ponieważ są one dokładnie takie same, to znaczy są przystające.

Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego, ponieważ dwa jego boki są przystające. Zatem wszystkie trójkąty równoboczne są również równoramienne, ale nie wszystkie trójkąty równoramienne będą równoboczne.

W ten sposób trójkąty równoboczne mają te same właściwości, co trójkąt równoramienny.

Trójkąty równoboczne można również sklasyfikować na podstawie szerokości ich kątów wewnętrznych jako trójkąt równoboczny ostry, który ma trzy boki i trzy kąty wewnętrzne o tej samej mierze. Kąty będą ostre, tj. Mniejsze niż 90 ^lub .

- Składniki

Ogólnie trójkąty składają się z kilku linii i punktów. Są one używane do obliczania powierzchni, boków, kątów, środkowej, dwusiecznej, dwusiecznej i wysokości.

• Mediana : jest to linia, która zaczyna się od środka jednej strony i dochodzi do przeciwległego wierzchołka. Trzy środkowe spotykają się w punkcie zwanym środkiem ciężkości lub środkiem ciężkości.
• Dwusieczna : jest to promień, który dzieli kąt wierzchołków na dwa kąty o równej mierze, dlatego nazywany jest osią symetrii. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. W trójkącie równobocznym dwusieczna jest rysowana od wierzchołka kąta do jego przeciwnej strony, przecinając ją w punkcie środkowym. Te spotykają się w punkcie zwanym incenter.
• Dwusieczna : jest to odcinek prostopadły do ​​boku trójkąta, którego początek znajduje się w środku. W trójkącie znajdują się trzy mediatrie, które spotykają się w miejscu zwanym środkiem obrzezania.
• Wysokość : jest to linia biegnąca od wierzchołka do przeciwległej strony, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie zwanym ortocentrum.

Na poniższym wykresie widzimy trójkąt skalenny, w którym niektóre z wymienionych składników są szczegółowo opisane

Dwusieczna, środkowa i dwusieczna pokrywają się

Dwusieczna dzieli bok trójkąta na dwie części. W trójkątach równobocznych ten bok zostanie podzielony na dwie dokładnie równe części, to znaczy trójkąt zostanie podzielony na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Zatem dwusieczna narysowana z dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkową i dwusieczną strony przeciwnej do tego kąta.

Przykład:

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktem środkowym D, który dzieli jeden z jego boków na dwa segmenty AD i BD.

Rysując linię od punktu D do przeciwległego wierzchołka, z definicji uzyskuje się medianę CD, która jest odniesiona do wierzchołka C i boku AB.

Ponieważ segment CD dzieli trójkąt ABC na dwa równe trójkąty CDB i CDA, oznacza to, że przypadek zgodności będzie utrzymywany: bok, kąt, bok, a zatem CD będzie również dwusieczną BCD.

Wykreślenie odcinka CD kąt wierzchołka jest podzielony na dwa równe kąty 30 ⁱ kąta wierzchołkowego nieruchomego pomiarowym 60 ^lub , a płyta linii na kącie 90 ° ⁱ w odniesieniu do punktu środkowego D.

Segment CD tworzy kąty, które mają tę samą miarę dla trójkątów ADC i BDC, to znaczy są uzupełniające się w taki sposób, że miarą każdego z nich będzie:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 ^lub

2 _* Med. (ADC) = 180 ^lub

Med. (ADC) = 180 ^lub ÷ 2

Med. (ADC) = 90 ^o .

Mamy więc, że segment CD jest również dwusieczną boku AB.

Dwusieczna i wysokość pokrywają się

Rysując dwusieczną od wierzchołka jednego kąta do środka przeciwnej strony, dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty.

Aby powstał kąt 90 ^lub (prosty). Wskazuje to, że ten odcinek linii jest całkowicie prostopadły do ​​tego boku i z definicji ta linia byłaby wysokością.

Zatem dwusieczna dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa się z wysokością względem przeciwnej strony tego kąta.

Ortocenter, barycenter, incenter i zbieżny środek do obrzezania

Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są reprezentowane przez ten sam segment w tym samym czasie, w trójkącie równobocznym punkty styku tych segmentów - ortocentrum, dwusieczna, środek i środek okręgu - zostaną znalezione w tym samym punkcie:

Nieruchomości

Główną właściwością trójkątów równobocznych jest to, że zawsze będą one trójkątami równoramiennymi, ponieważ równoramienne są utworzone przez dwa przystające boki i równoboczne przez trzy.

W ten sposób trójkąty równoboczne odziedziczyły wszystkie właściwości trójkąta równoramiennego:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów jest zawsze równa 180 ^lub , ponieważ wszystkie kąty są przystające, każdy z nich będzie mierzył 60 ^lub .

Kąty zewnętrzne

Suma kątów zewnętrznych 360 będzie zawsze równa ^lub dlatego każdy kąt zewnętrzny będzie mierzył 120 ^lub . Dzieje się tak, ponieważ kąty wewnętrzne i zewnętrzne są uzupełniające, to znaczy dodając je zawsze będą równe 180 ^o .

Suma boków

Suma wymiarów dwóch boków musi być zawsze większa niż miara trzeciego boku, to znaczy a + b> c, gdzie a, b i c są miarami każdego boku.

Przystające strony

Trójkąty równoboczne mają wszystkie trzy boki tej samej miary lub długości; to znaczy, że są przystające. Dlatego w poprzednim punkcie mamy, że a = b = c.

Przystające kąty

Trójkąty równoboczne są również znane jako trójkąty równokątne, ponieważ ich trzy wewnętrzne kąty są do siebie przystające. Dzieje się tak, ponieważ wszystkie jego boki również mają ten sam wymiar.

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany przez dodanie boków. Ponieważ w tym przypadku trójkąt równoboczny ma wszystkie boki o tej samej miary, jego obwód oblicza się za pomocą następującego wzoru:

P = 3 _* bok.

Jak obliczyć wysokość?

Ponieważ wysokość jest linią prostopadłą do podstawy, dzieli ją na dwie równe części, rozciągając się do przeciwległego wierzchołka. W ten sposób powstają dwa równe trójkąty prostokątne.

Wysokość (h) przedstawia przeciwną nogę (a), połowę boku AC do sąsiedniej nogi (b), a bok BC przedstawia przeciwprostokątną (c).

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można określić wartość wysokości:

3 _* l = 450 m.

P = 3 _* l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Bibliografia

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Rysunek techniczny: zeszyt ćwiczeń.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
3. Baldor, A. (1941). Algebra. Hawana: Kultura.
4. BARBOSA, JL (2006). Płaska geometria euklidesowa. SBM. Rio de Janeiro,.
5. Coxford, A. (1971). Geometria Podejście transformacyjne. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, RP (1886). Elementy geometrii Euklidesa.
7. Héctor Trejo, JS (2006). Geometria i trygonometria.
8. León Fernández, GS (2007). Zintegrowana geometria. Metropolitalny Instytut Technologiczny.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.