UKOŚNE LINIE: CHARAKTERYSTYKA, RÓWNANIA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Te ukośne linie są takie, że są pochylone zarówno w stosunku do płaskiej powierzchni lub drugiej linii, określające adres. Jako przykład rozważ trzy linie narysowane na płaszczyźnie, które pojawiają się na poniższym rysunku.

Znamy ich położenia względne, ponieważ porównujemy je z linią odniesienia, która jest zwykle osią x oznaczającą poziom.

Rysunek 1. Pionowe, poziome i ukośne linie w tej samej płaszczyźnie. Źródło: F. Zapata.

W ten sposób, wybierając poziomą jako odniesienie, linia po lewej stronie jest pionowa, ta w środku jest pozioma, a ta po prawej jest skośna, ponieważ jest nachylona w stosunku do dziennych linii odniesienia.

Teraz linie, które są na tej samej płaszczyźnie, takiej jak powierzchnia papieru lub ekranu, zajmują różne pozycje względem siebie, w zależności od tego, czy się przecinają, czy nie. W pierwszym przypadku są to linie sieczne, podczas gdy w drugim są równoległe.

Z drugiej strony, sieczne linie mogą być liniami ukośnymi lub prostopadłymi. W obu przypadkach nachylenia prostych są różne, ale ukośne linie tworzą ze sobą kąty α i β różniące się od 90º, podczas gdy kąty wyznaczone przez proste prostopadłe wynoszą zawsze 90º.

Poniższy rysunek podsumowuje te definicje:

Rysunek 2. Względne pozycje między prostymi: równoległe, ukośne i prostopadłe różnią się kątem, jaki tworzą ze sobą. Źródło: F. Zapata.

Równania

Aby poznać względne położenie linii w płaszczyźnie, konieczne jest poznanie kąta między nimi. Zwróć uwagę, że linie to:

Równoległe : jeśli mają to samo nachylenie (ten sam kierunek) i nigdy się nie przecinają, dlatego ich punkty są jednakowo oddalone.

Koincydenty : kiedy wszystkie punkty pokrywają się, a zatem mają takie samo nachylenie, ale odległość między punktami wynosi zero.

Suszarki : jeśli ich nachylenia są różne, odległość między punktami jest różna, a przecięcie jest jednym punktem.

Zatem jednym ze sposobów sprawdzenia, czy dwie proste w płaszczyźnie są sieczne, czy równoległe, jest ich nachylenie. Kryteria równoległości i prostopadłości prostych są następujące:

Jeśli znając nachylenia dwóch prostych w płaszczyźnie, żadne z powyższych kryteriów nie jest spełnione, dochodzimy do wniosku, że linie są ukośne. Znając dwa punkty na linii, nachylenie jest obliczane natychmiast, jak zobaczymy w następnej sekcji.

Można dowiedzieć się, czy dwie proste są sieczne lub równoległe, znajdując ich przecięcie, rozwiązując układ równań, które tworzą: jeśli istnieje rozwiązanie, są to sieczne, jeśli nie ma rozwiązania, są równoległe, ale jeśli rozwiązania są nieskończone, proste są zbieżne.

Jednak to kryterium nie informuje nas o kącie między tymi prostymi, nawet jeśli się przecinają.

Aby poznać kąt między liniami, potrzebujemy dwóch wektorów u i v, które należą do każdego z nich. W ten sposób można poznać kąt, jaki tworzą, za pomocą iloczynu skalarnego wektorów, zdefiniowanego w ten sposób:

u • v = uvcos α

Równanie prostej w płaszczyźnie

Linię na płaszczyźnie kartezjańskiej można przedstawić na kilka sposobów, na przykład:

- Postać kierunkowa: jeśli m jest nachyleniem prostej, a b jest przecięciem prostej z osią pionową, równanie tej prostej to y = mx + b.

- Ogólne równanie prostej : Ax + By + C = 0, gdzie m = A / B to nachylenie.

W płaszczyźnie kartezjańskiej linie pionowe i poziome są szczególnymi przypadkami równania prostej.

- Linie pionowe : x = a

- Linie poziome : y = k

Rysunek 3. Po lewej stronie pionowa linia x = 4 i pozioma linia y = 6. Po prawej przykład ukośnej linii. Źródło: F. Zapata.

W przykładach na rysunku 3 pionowa czerwona linia ma równanie x = 4, podczas gdy linia równoległa do osi x (niebieska) ma równanie y = 6. Jeśli chodzi o linię po prawej stronie, widzimy, że jest ukośna a do znalezienia jej równania wykorzystamy punkty zaznaczone na rysunku: (0,2) i (4,0) w ten sposób:

Przecięcie tej linii z osią pionową wynosi y = 2, jak widać na wykresie. Dzięki tym informacjom:

Wyznaczenie kąta nachylenia względem osi X jest łatwe. Czuję to:

Dlatego dodatni kąt od osi x do prostej wynosi: 180º - 26,6º = 153,4º

Przykłady ukośnych linii

Rysunek 4. Przykłady ukośnych linii. Źródło: szermierze Ian Patterson. Krzywa Wieża w Pizie. Pixabay.

Ukośne linie pojawiają się w wielu miejscach, warto zwrócić uwagę, aby znaleźć je w architekturze, sporcie, okablowaniu elektrycznym, rurach i wielu innych miejscach. W naturze obecne są również ukośne linie, jak zobaczymy poniżej:

Promienie światła

Światło słoneczne porusza się po linii prostej, ale okrągły kształt Ziemi wpływa na sposób, w jaki światło słoneczne pada na powierzchnię.

Na poniższym obrazku wyraźnie widać, że promienie słoneczne padają prostopadle w regionach tropikalnych, ale zamiast tego docierają do powierzchni ukośnie w regionach o klimacie umiarkowanym i na biegunach.

Dlatego promienie słoneczne przemieszczają się na większą odległość przez atmosferę, a także ciepło rozchodzi się na większej powierzchni (patrz rysunek). W rezultacie obszary w pobliżu biegunów są zimniejsze.

Rysunek 5. Promienie słoneczne padają ukośnie w strefach umiarkowanych i na biegunach, zamiast tego są mniej więcej prostopadłe w tropikach. Źródło: Wikimedia Commons.

Linie, które nie znajdują się na tej samej płaszczyźnie

Kiedy dwie linie nie znajdują się na tej samej płaszczyźnie, nadal mogą być ukośne lub wypaczone, jak są również znane. W tym przypadku ich wektory kierunkowe nie są równoległe, ale ponieważ nie należą do tej samej płaszczyzny, te proste nie przecinają się.

Na przykład linie na rysunku 6 po prawej są wyraźnie na różnych płaszczyznach. Jeśli spojrzysz na nie z góry, zobaczysz, że przecinają się, ale nie mają wspólnego punktu. Po prawej stronie widzimy koła roweru, którego szprychy wydają się krzyżować, patrząc od przodu.

Rysunek 6. Ukośne linie należące do różnych płaszczyzn. Źródło: po lewej F. Zapata, po prawej Pixabay.

Bibliografia

1. Geometria. Wektor dyrektora linii. Odzyskany z: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Calculus with Analytical Geometry. 8th. Wydanie. McGraw Hill.
3. Matematyka to gra. Linie i kąty. Odzyskany z: juntadeandalucia.es.
4. Przecinające się proste linie. Odzyskany z: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytical Geometry in R3. Odzyskany z: dspace.espol.edu.ec.