4 ĆWICZENIA FAKTORINGOWE Z ROZWIĄZANIAMI - MATEMATYKA - 2025

Ćwiczenia na czynniki pomaga zrozumieć tę technikę, często stosowana w matematyce i jest w trakcie pisania sumę jako iloczyn pewnych warunkach.

Słowo faktoryzacja odnosi się do czynników, które są terminami, które mnożą inne terminy. Na przykład przy rozkładaniu liczby naturalnej na czynniki pierwsze zaangażowane liczby pierwsze nazywane są czynnikami.

Oznacza to, że 14 można zapisać jako 2 * 7. W tym przypadku czynniki pierwsze 14 to 2 i 7. To samo dotyczy wielomianów zmiennych rzeczywistych.

To znaczy, jeśli masz wielomian P (x), to rozłożenie wielomianu na czynniki polega na zapisaniu P (x) jako iloczynu innych wielomianów o stopniu mniejszym niż stopień P (x).

Faktoring

Różne techniki są używane do rozłożenia wielomianu na czynniki, w tym znaczące iloczyny i obliczania pierwiastków wielomianu.

Jeśli mamy wielomian drugiego stopnia P (x), a x1 i x2 są pierwiastkami rzeczywistymi P (x), to P (x) można rozłożyć na czynniki jako „a (x-x1) (x-x2)”, gdzie „a” jest współczynnikiem towarzyszącym potędze kwadratowej.

Jak obliczane są korzenie?

Jeśli wielomian jest stopnia 2, pierwiastki można obliczyć za pomocą wzoru zwanego „rozpuszczalnikiem”.

Jeśli wielomian jest stopnia 3 lub więcej, do obliczenia pierwiastków zwykle stosuje się metodę Ruffiniego.

4 ćwiczenia faktoringowe

Pierwsze ćwiczenie

Uwzględnij następujący wielomian: P (x) = x²-1.

Rozwiązanie

Nie zawsze jest konieczne stosowanie rozpuszczalnika. W tym przykładzie możesz użyć niezwykłego produktu.

Przepisując wielomian w następujący sposób, możemy zobaczyć, którego znaczącego iloczynu użyć: P (x) = x² - 1².

Korzystając z niezwykłego iloczynu 1, różnicy kwadratów, otrzymujemy rozkład wielomianu P (x) w następujący sposób: P (x) = (x + 1) (x-1).

To dodatkowo wskazuje, że pierwiastki P (x) to x1 = -1 i x2 = 1.

Drugie ćwiczenie

Uwzględnij następujący wielomian: Q (x) = x³ - 8.

Rozwiązanie

Istnieje niezwykły produkt, który mówi, co następuje: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Wiedząc to, wielomian Q (x) można przepisać w następujący sposób: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Teraz, używając opisanego niezwykłego iloczynu, mamy, że rozkład na czynniki wielomianu Q (x) wynosi Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Kwadratowy wielomian, który powstał w poprzednim kroku, pozostaje do rozłożenia na czynniki. Ale jeśli spojrzysz na to, niezwykły produkt nr 2 może pomóc; dlatego ostateczna faktoryzacja Q (x) jest dana wzorem Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

To mówi, że jeden pierwiastek z Q (x) to x1 = 2, a że x2 = x3 = 2 to drugi pierwiastek z Q (x), który się powtarza.

Ćwiczenie trzecie

Współczynnik R (x) = x² - x - 6.

Rozwiązanie

Kiedy nie można wykryć niezwykłego produktu lub nie ma doświadczenia niezbędnego do manipulowania ekspresją, przystępujemy do użycia środka do usuwania. Wartości są następujące a = 1, b = -1, ic = -6.

Podstawienie ich do wzoru daje x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 )/dwa.

Stąd są dwa rozwiązania, które są następujące:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Dlatego wielomian R (x) można rozłożyć na czynniki jako R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Ćwiczenie czwarte

Współczynnik H (x) = x³ - x² - 2x.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu możemy zacząć od wspólnego współczynnika x i otrzymamy, że H (x) = x (x²-x-2).

Dlatego pozostaje tylko wziąć pod uwagę wielomian kwadratowy. Używając ponownie rozpuszczalnika, mamy, że korzenie to:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Dlatego pierwiastki wielomianu kwadratowego to x1 = 1 i x2 = -2.

Podsumowując, faktoryzacja wielomianu H (x) jest dana wzorem H (x) = x (x-1) (x + 2).

Bibliografia

1. 1. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
   2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: Jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
   3. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
   5. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
   6. Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.