WSPÓŁRZĘDNE WALCOWE: UKŁAD, ZMIANA I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

W współrzędnych walcowych stosuje rozmieszczenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej i składa się z promieniowej współrzędnych ρ, φ współrzędnych azymutu i współrzędna wysokości.

Punkt P umieszczony w przestrzeni jest rzutowany prostopadle na płaszczyznę XY, dając początek punktowi P 'na tej płaszczyźnie. Odległość od początku do punktu P 'określa współrzędną ρ, podczas gdy kąt między osią X a promieniem OP' określa współrzędną φ. Wreszcie współrzędna z jest prostopadłym rzutem punktu P na oś Z. (patrz rysunek 1).

Rysunek 1. Punkt P o współrzędnych walcowych (ρ, φ, z). (Opracowanie własne)

Współrzędna promieniowa ρ jest zawsze dodatnia, współrzędna azymutalna φ zmienia się od zera radianów do dwóch radianów pi, podczas gdy współrzędna z może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Zmiana współrzędnych

Relatywnie łatwo jest uzyskać współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu P z jego współrzędnych walcowych (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Ale możliwe jest również uzyskanie współrzędnych biegunowych (ρ, φ, z), wychodząc ze znajomości współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) punktu P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Baza wektora we współrzędnych cylindrycznych

Zdefiniowano bazę cylindrycznych wektorów jednostkowych Uρ , Uφ , Uz .

Wektor Uρ jest styczny do prostej φ = ctte iz = ctte (skierowany promieniowo na zewnątrz), wektor Uφ jest styczny do prostej ρ = ctte iz = ctte i ostatecznie Uz ma ten sam kierunek osi Z.

Rysunek 2. Cylindryczna podstawa współrzędnych. (wikimedia commons)

W cylindrycznej podstawie jednostki wektor położenia r punktu P jest zapisany wektorowo w następujący sposób:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Z drugiej strony nieskończenie małe przemieszczenie d r z punktu P wyraża się następująco:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Podobnie, nieskończenie mały element objętości dV we współrzędnych cylindrycznych to:

dV = ρ dρ dφ dz

Przykłady

Istnieją niezliczone przykłady wykorzystania i zastosowania współrzędnych cylindrycznych. Na przykład w kartografii stosuje się odwzorowanie cylindryczne, oparte dokładnie na tych współrzędnych. Przykładów jest więcej:

Przykład 1

Współrzędne walcowe mają zastosowanie w technologii. Jako przykład mamy system lokalizacji danych CHS (Cylinder-Head-Sector) na dysku twardym, który w rzeczywistości składa się z kilku dysków:

- Cylinder lub ścieżka odpowiada współrzędnej ρ.

- Sektor odpowiada pozycji φ dysku, który obraca się z dużą prędkością kątową.

- Głowica odpowiada pozycji z głowicy czytającej na odpowiednim dysku.

Każdy bajt informacji ma dokładny adres we współrzędnych cylindrycznych (C, S, H).

Rysunek 2. Lokalizacja informacji we współrzędnych cylindrycznych w systemie dysku twardego. (wikimedia commons)

Przykład 2

Żurawie budowlane ustalają położenie ładunku we współrzędnych cylindrycznych. Pozycję poziomą definiuje odległość od osi lub strzałki żurawia ρ oraz jego położenie kątowe w stosunku do pewnej osi odniesienia. Pionowe położenie obciążenia określa współrzędna z wysokości.

Rysunek 3. Pozycję ładunku na dźwigu budowlanym można łatwo wyrazić we współrzędnych cylindrycznych. (Obraz Pixabay - Adnotacje R. Pérez)

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Istnieją punkty P1 o współrzędnych cylindrycznych (3, 120º, -4) i punkt P2 o współrzędnych cylindrycznych (2, 90º, 5). Znajdź odległość euklidesową między tymi dwoma punktami.

Rozwiązanie: Najpierw przechodzimy do znalezienia współrzędnych kartezjańskich każdego punktu według wzoru podanego powyżej.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Odległość euklidesowa między punktami P1 i P2 wynosi:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Ćwiczenie 2

Punkt P ma współrzędne kartezjańskie (-3, 4, 2). Znajdź odpowiednie współrzędne cylindryczne.

Rozwiązanie: przystępujemy do znalezienia współrzędnych walcowych, korzystając z podanych powyżej zależności:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Należy pamiętać, że funkcja arcus tangens jest wielowartościowa z okresowością 180º. Ponadto kąt φ musi należeć do drugiej ćwiartki, ponieważ współrzędne x i y punktu P znajdują się w tej ćwiartce. To jest powód, dla którego do wyniku dodano 180º.

Ćwiczenie 3

Wyraź we współrzędnych cylindrycznych i współrzędnych kartezjańskich powierzchnię walca o promieniu 2 i którego oś pokrywa się z osią Z.

Rozwiązanie: Rozumie się, że cylinder ma nieskończone wydłużenie w kierunku z, więc równanie tej powierzchni we współrzędnych cylindrycznych wygląda następująco:

ρ = 2

Aby otrzymać równanie kartezjańskie powierzchni cylindrycznej, przyjmuje się kwadrat obu elementów poprzedniego równania:

ρ ² = 4

Mnożymy oba elementy poprzedniej równości przez 1 i stosujemy podstawową tożsamość trygonometryczną (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Nawias jest rozwijany w celu uzyskania:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Pamiętamy, że pierwszy nawias (ρ sin (φ)) to współrzędna y punktu we współrzędnych biegunowych, podczas gdy nawiasy (ρ cos (φ)) reprezentują współrzędną x, więc mamy równanie walca we współrzędnych Kartezjański:

y ² + x ² = 2 ²

Powyższego równania nie należy mylić z równaniem obwodu w płaszczyźnie XY, gdyż w tym przypadku wyglądałoby to tak: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Ćwiczenie 4

Cylinder o promieniu R = 1 mi wysokości H = 1m ma masę rozłożoną promieniowo zgodnie z następującym równaniem D (ρ) = C (1 - ρ / R), gdzie C jest stałą o wartości C = 1 kg / m ³ . Znajdź całkowitą masę cylindra w kilogramach.

Rozwiązanie: Pierwszą rzeczą jest uświadomienie sobie, że funkcja D (ρ) reprezentuje wolumetryczną gęstość masy, a gęstość masy jest rozłożona w cylindrycznych powłokach o malejącej gęstości od środka do obrzeża. Nieskończenie mały element objętości zgodnie z symetrią problemu to:

dV = ρ dρ 2π H

Stąd nieskończenie mała masa cylindrycznej powłoki będzie wynosić:

dM = D (ρ) dV

Dlatego całkowita masa cylindra będzie wyrażona następującą całką oznaczoną:

M = ∫ _lub ^R D (ρ) dV = ∫ _lub ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _lub ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Rozwiązanie wskazanej całki nie jest trudne do uzyskania, czego wynikiem jest:

∫ _lub ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Uwzględniając ten wynik w wyrażeniu masy cylindra, otrzymujemy:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Bibliografia

1. Arfken G i Weber H. (2012). Metody matematyczne dla fizyków. Obszerny przewodnik. 7. edycja. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9 .Linki zewnętrzne
2. Obliczenie cc. Rozwiązano problemy współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Odzyskany z: calco.cc
3. Weisstein, Eric W. „Współrzędne cylindryczne”. Z MathWorld - Wolfram Web. Odzyskany z: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cylindryczny układ współrzędnych. Odzyskany z: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Pola wektorowe we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Odzyskany z: en.wikipedia.com