- Wybitne produkty i przykłady
- Dwumian do kwadratu
- Iloczyn dwumianów sprzężonych
- Iloczyn dwóch dwumianów ze wspólnym terminem
- Kwadratowy wielomian
- Dwumianowy sześcienny
- Sześcian trójmianu
- Rozwiązane ćwiczenia godnych uwagi produktów
- Ćwiczenie 1
- Rozwiązanie
- Ćwiczenie 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Te niezwykłe produkty są operacje algebraiczne, gdzie mnożenia wielomianów są wyrażone, które nie muszą być rozwiązany tradycyjnie, ale z pomocą pewnych zasad można znaleźć wyniki takie same.
Wielomiany są mnożone przez tak, dlatego możliwe jest, że mają dużą liczbę terminów i zmiennych. Aby skrócić ten proces, zastosowano godne uwagi reguły dotyczące produktów, które umożliwiają mnożenie bez konieczności stosowania terminu po terminie.
Wybitne produkty i przykłady
Każdy znaczący iloczyn jest formułą wynikającą z faktoryzacji składającej się z wielomianów kilku terminów, takich jak dwumiany lub trójomiany, zwanych czynnikami.
Czynniki są podstawą potęgi i mają wykładnik. Po pomnożeniu współczynników należy dodać wykładniki.
Istnieje kilka niezwykłych formuł produktów, niektóre są częściej używane niż inne, w zależności od wielomianów, i są one następujące:
Dwumian do kwadratu
Jest to mnożenie samego dwumianu, wyrażone jako potęga, gdzie wyrazy są dodawane lub odejmowane:
do. Kwadratowa suma dwumianowa: jest równa kwadratowi pierwszego członu plus dwukrotność iloczynu wyrazów plus kwadrat drugiego członu. Wyraża się to następująco:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Na poniższym rysunku widać, jak produkt rozwija się zgodnie z powyższą zasadą. Wynik nazywamy trójmianem doskonałego kwadratu.
Przykład 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Przykład 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Dwumian odejmowania do kwadratu: obowiązuje ta sama reguła dwumianu sumy, tylko w tym przypadku drugi składnik jest ujemny. Jego formuła jest następująca:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Przykład 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Iloczyn dwumianów sprzężonych
Dwa dwumiany są sprzężone, gdy drugie wyrazy każdego z nich mają różne znaki, to znaczy pierwszy jest dodatni, a drugi ujemny lub odwrotnie. Rozwiązuje się go, podnosząc do kwadratu każdy jednomian i odejmując. Jego formuła jest następująca:
(a + b) * (a - b)
Na poniższym rysunku powstaje iloczyn dwóch sprzężonych dwumianów, gdzie obserwuje się, że wynikiem jest różnica kwadratów.
Przykład 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Iloczyn dwóch dwumianów ze wspólnym terminem
Jest to jeden z najbardziej złożonych i rzadko używanych produktów godnych uwagi, ponieważ jest to mnożenie dwóch dwumianów, które mają wspólny termin. Reguła stanowi, co następuje:
- Kwadrat wspólnego terminu.
- Zsumuj terminy, które nie są wspólne, a następnie pomnóż je przez wspólny termin.
- Plus suma mnożenia terminów, które nie są wspólne.
Jest przedstawiony wzorem: (x + a) * (x + b) i jest rozwijany tak, jak pokazano na rysunku. Rezultatem jest niedoskonały trójmian kwadratowy.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Istnieje możliwość, że drugi człon (inny człon) jest ujemny i jego wzór jest następujący: (x + a) * (x - b).
Przykład 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Może się również zdarzyć, że oba różne terminy są ujemne. Jego wzór będzie wyglądał następująco: (x - a) * (x - b).
Przykład 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Kwadratowy wielomian
W tym przypadku jest więcej niż dwa wyrazy i aby je rozwinąć, każdy z nich jest podnoszony do kwadratu i dodawany wraz z dwukrotnym pomnożeniem jednego wyrazu przez inny; jego wzór to: (a + b + c) 2, a wynikiem operacji jest kwadrat trójmianu.
Przykład 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Dwumianowy sześcienny
To niezwykle złożony produkt. Aby go rozwinąć, dwumian jest mnożony przez jego kwadrat w następujący sposób:
do. Dla dwumianu sześciennego sumy:
- Sześcian pierwszego członu plus potrójny kwadrat pierwszego członu razy drugi.
- Plus potrójny z pierwszego członu razy drugi do kwadratu.
- Plus sześcian drugiego członu.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Przykład 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Dla dwumianu sześciennego odejmowania:
- Sześcian pierwszego członu minus trzy razy kwadrat pierwszego członu razy drugi.
- Plus potrójny z pierwszego członu razy drugi do kwadratu.
- Odjąć sześcian drugiego członu.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Przykład 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Sześcian trójmianu
Jest rozwijany poprzez pomnożenie go przez kwadrat. Jest to bardzo obszerny, niezwykły iloczyn, ponieważ masz 3 wyrażenia do kostki plus trzy razy każdy wyraz do kwadratu, pomnożone przez każdy z wyrazów, plus sześć razy iloczyn trzech wyrazów. Widziane w lepszy sposób:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Przykład 1
Rozwiązane ćwiczenia godnych uwagi produktów
Ćwiczenie 1
Rozwiń następujący dwumian do sześcianu: (4x - 6) 3 .
Rozwiązanie
Pamiętając, że dwumian podzielony na sześcian jest równy pierwszemu członowi do sześcianu, minus trzy razy kwadrat pierwszego członu razy drugi; plus potrójny pierwszy wyraz, razy drugi kwadrat, minus sześcian drugiego wyrazu.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Ćwiczenie 2
Opracuj następujący dwumian: (x + 3) (x + 8).
Rozwiązanie
Istnieje dwumian, w którym występuje wspólny wyraz, którym jest x, a drugi człon jest dodatni. Aby go rozwinąć, wystarczy podnieść do kwadratu termin wspólny i sumę terminów, które nie są wspólne (3 i 8), a następnie pomnożyć je przez wyraz wspólny plus sumę mnożenia terminów, które nie są wspólne.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Bibliografia
- Anioł, AR (2007). Algebra elementarna. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Wielka Brytania: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementarna i średniozaawansowana: podejście łączone. Floryda: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Edukacja Pearson.