FUNKCJA STAŁA: CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Funkcja stała to taka, w której wartość y jest stała. Innymi słowy: stała funkcja zawsze ma postać f (x) = k, gdzie k jest liczbą rzeczywistą.

Podczas tworzenia wykresu funkcji stałej w układzie współrzędnych xy zawsze powstaje linia prosta równoległa do osi poziomej lub x.

Rysunek 1. Wykres kilku funkcji stałych na płaszczyźnie kartezjańskiej. Źródło: Wikimedia Commons. Użytkownik: HiTe

Ta funkcja jest szczególnym przypadkiem funkcji afinicznej, której wykres jest również linią prostą, ale z nachyleniem. Stała funkcja ma zerowe nachylenie, to znaczy jest to linia pozioma, jak widać na rysunku 1.

Tam pokazano wykres trzech stałych funkcji:

Wszystkie są liniami równoległymi do osi poziomej, pierwsza znajduje się poniżej tej osi, a reszta powyżej.

Stała charakterystyka funkcji

Możemy podsumować główne cechy funkcji stałej w następujący sposób:

-Jego wykres jest poziomą linią prostą.

-Ma unikalne przecięcie z osią y o wartości k.

-To ciągłe.

-The domeny stałej funkcji (zestaw wartości, które mogą mieć x) jest zbiorem liczb rzeczywistych R .

-Ścieżka, zakres lub przeciwdziedzina (zbiór wartości, które przyjmuje zmienna y) to po prostu stała k.

Przykłady

Funkcje są niezbędne do ustanowienia powiązań między wielkościami, które w jakiś sposób od siebie zależą. Relację między nimi można modelować matematycznie, aby dowiedzieć się, jak zachowuje się jeden z nich, gdy drugi jest zmienny.

Pomaga to w budowaniu modeli dla wielu sytuacji i prognozowaniu ich zachowania i ewolucji.

Pomimo pozornej prostoty funkcja stała ma wiele zastosowań. Na przykład, jeśli chodzi o badanie wielkości, które pozostają niezmienne w czasie lub przynajmniej przez znaczny czas.

W ten sposób wielkości zachowują się w sytuacjach takich jak:

-Prędkość przelotowa samochodu poruszającego się po długiej prostej autostradzie. Dopóki nie hamujesz ani nie przyspieszasz, samochód porusza się równomiernie prostoliniowo.

Rysunek 2. Jeżeli samochód nie hamuje ani nie przyspiesza, porusza się jednostajnie, prostoliniowo. Źródło: Pixabay.

-W pełni naładowany kondensator odłączony od obwodu ma stałe ładowanie w czasie.

- Wreszcie parking ryczałtowy ma stałą cenę bez względu na to, jak długo samochód jest tam zaparkowany.

Inny sposób przedstawienia stałej funkcji

Funkcję stałą można alternatywnie przedstawić w następujący sposób:

Ponieważ każda wartość x podniesiona do 0 daje w rezultacie 1, poprzednie wyrażenie redukuje się do już znanego:

Oczywiście dzieje się tak, o ile wartość k jest różna od 0.

Dlatego funkcja stała jest również klasyfikowana jako funkcja wielomianowa stopnia 0, ponieważ wykładnik zmiennej x wynosi 0.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Odpowiedz na następujące pytania:

a) Czy można stwierdzić, że prosta określona przez x = 4 jest funkcją stałą? Podaj powody swojej odpowiedzi.

b) Czy funkcja stała może mieć punkt przecięcia z osią x?

c) Czy funkcja f (x) = w ^{2 jest} stała ?

Odpowiedz

Oto wykres linii x = 4:

Rysunek 3. Wykres linii x = 4. Źródło: F. Zapata.

Linia x = 4 nie jest funkcją; z definicji funkcja jest relacją taką, że każda wartość zmiennej x odpowiada pojedynczej wartości y. I w tym przypadku nie jest to prawdą, ponieważ wartość x = 4 jest związana z nieskończonymi wartościami y. Dlatego odpowiedź brzmi: nie.

Odpowiedź b

Ogólnie rzecz biorąc, stała funkcja nie ma punktu przecięcia z osią x, chyba że jest to y = 0, w którym to przypadku jest to sama oś x.

Odpowiedź c

Tak, ponieważ w jest stałe, jego kwadrat jest również stały. Liczy się to, że w nie zależy od zmiennej wejściowej x.

- Ćwiczenie 2

Znajdź punkt przecięcia między funkcjami f (x) = 5 i g (x) = 5x - 2

Rozwiązanie

Aby znaleźć punkt przecięcia między tymi dwiema funkcjami, można je odpowiednio przepisać jako:

Są wyrównane, uzyskując:

Co to jest równanie liniowe pierwszego stopnia, którego rozwiązaniem jest:

Punkt przecięcia to (7 / 5,5).

- Ćwiczenie 3

Pokaż, że pochodna funkcji stałej wynosi 0.

Rozwiązanie

Z definicji pochodnej mamy:

Zastępując w definicji:

Ponadto, jeśli pomyślimy o pochodnej jako o szybkości zmiany dy / dx, funkcja stała nie podlega żadnej zmianie, dlatego jej pochodna wynosi zero.

- Ćwiczenie 4

Znajdź całkę nieoznaczoną funkcji f (x) = k.

Rozwiązanie

Rysunek 4. Wykres funkcji v (t) dla komórki w ćwiczeniu 6. Źródło: F. Zapata.

Pyta:

a) Napisz wyrażenie określające funkcję prędkości jako funkcję czasu v (t).

b) Znajdź odległość przebytą przez telefon komórkowy w przedziale czasowym od 0 do 9 sekund.

Rozwiązanie

Przedstawiony wykres pokazuje, że:

- v = 2 m / sw przedziale czasu od 0 do 3 sekund

- Telefon komórkowy jest zatrzymywany między 3 a 5 sekundami, ponieważ w tym przedziale prędkość wynosi 0.

- v = - 3 m / s od 5 do 9 sekund.

Jest to przykład funkcji odcinkowej lub funkcji odcinkowej, która z kolei składa się z funkcji stałych, ważnych tylko dla wskazanych przedziałów czasu. Wnioskuje się, że pożądana funkcja to:

Rozwiązanie b

Z wykresu v (t) można obliczyć odległość przebytą przez telefon komórkowy, która jest numerycznie równoważna powierzchni pod / na krzywej. W ten sposób:

-Odległość przebyta od 0 do 3 sekund = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Od 3 do 5 sekund został zatrzymany, dlatego nie pokonał żadnej odległości.

-Odległość przebyta od 5 do 9 sekund = 3 m / s. 4 s = 12 m

W sumie telefon przejechał 18 m. Należy zauważyć, że chociaż prędkość jest ujemna w przedziale od 5 do 9 sekund, przebyta odległość jest dodatnia. Dzieje się tak, że w tym przedziale czasu telefon komórkowy zmienił poczucie swojej szybkości.

Bibliografia

1. Geogebra. Funkcje stałe. Odzyskane z: geogebra.org.
2. Maplesoft. Funkcja stała. Odzyskany z: maplesoft.com.
3. Wikibooks. Obliczanie w zmiennej / Funkcje / Funkcja stała. Odzyskany z: es.wikibooks.org.
4. Wikipedia. Funkcja stała. Odzyskane z: en.wikipedia.org
5. Wikipedia. Funkcja stała. Odzyskane z: es.wikipedia.org.