Funkcja suriektywna to dowolna relacja, w której każdy element należący do kodomeny jest obrazem co najmniej jednego elementu domeny. Znane również jako funkcja obwiedni , są częścią klasyfikacji funkcji ze względu na sposób, w jaki ich elementy są powiązane.

Na przykład funkcja F: A → B zdefiniowana przez F (x) = 2x

Czyta się „ F, które przechodzi od A do B zdefiniowane przez F (x) = 2x”

Musisz zdefiniować początkowe i końcowe zestawy A i B.

O: {1, 2, 3, 4, 5} Teraz wartości lub obrazy, które każdy z tych elementów da, gdy zostaną ocenione w F, będą elementami kodomeny.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

W ten sposób tworząc zbiór B: {2, 4, 6, 8, 10}

Można zatem stwierdzić, że:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} zdefiniowane przez F (x) = 2x Jest to funkcja suriektywna

Każdy element kodomeny musi wynikać z co najmniej jednej operacji zmiennej niezależnej poprzez daną funkcję. Nie ma ograniczeń co do obrazów, element kodomeny może być obrazem więcej niż jednego elementu domeny i nadal próbować funkcji suriektywnej .

Na ilustracji pokazano 2 przykłady z funkcjami surjektywnymi .

Źródło: Autor

W pierwszej zauważono, że obrazy można odnieść do tego samego elementu, bez uszczerbku dla suriektywności funkcji.

W drugiej widzimy sprawiedliwą dystrybucję między domeną a obrazami. Daje to początek funkcji bijektywnej , w której muszą być spełnione kryteria funkcji iniekcyjnej i funkcji suriektywnej.

Inną metodą identyfikacji funkcji suriektywnych jest sprawdzenie, czy kodomena jest równa randze funkcji. Oznacza to, że jeśli zbiór przybycia jest równy obrazom dostarczonym przez funkcję podczas obliczania zmiennej niezależnej, funkcja jest suriektywna.

Nieruchomości

Aby uznać funkcję surjektywną , należy spełnić następujące warunki:

Niech F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Jest to algebraiczny sposób ustalenia, że dla każdego „b” należącego do C _f istnieje „a”, które należy do D _f, tak że funkcja F oceniana w „a” jest równa „b”.

Suriektywność jest osobliwością funkcji, w których kodomena i zakres są podobne. W ten sposób elementy oceniane w funkcji tworzą zbiór przybycia.

Uwarunkowanie funkcji

Czasami funkcja, która nie jest suriektywna, może podlegać pewnym warunkom. Te nowe warunki mogą sprawić, że będzie to funkcja suriektywna.

Wszystkie rodzaje modyfikacji domeny i kodomeny funkcji są ważne, gdy celem jest spełnienie właściwości suriektywności w odpowiedniej relacji.

Przykłady: rozwiązane ćwiczenia

Aby spełnić warunki surjektywności , należy zastosować różne techniki warunkowania, aby zapewnić, że każdy element kodomeny znajduje się w zbiorze obrazów funkcji.

Ćwiczenie 1

• Niech funkcja F: R → R będzie zdefiniowana przez linię F (x) = 8 - x

ZA:

Źródło: autor

W tym przypadku funkcja opisuje linię ciągłą, która zawiera wszystkie liczby rzeczywiste zarówno w swojej dziedzinie, jak i zakresie. Ponieważ zakres funkcji R _f jest równy kodomenie R , można wywnioskować, że:

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 8 - x jest funkcją suriektywną.

Dotyczy to wszystkich funkcji liniowych (funkcji, których najwyższy stopień zmiennej wynosi jeden).

Ćwiczenie 2

• Zbadaj funkcję F: R → R zdefiniowaną przez F (x) = x ² : Określ, czy jest to funkcja suriektywna . Jeśli nie, pokaż warunki niezbędne do nadania mu surowości.

Źródło: autor

Pierwszą rzeczą, którą należy wziąć pod uwagę, jest kodomena F , która składa się z liczb rzeczywistych R. Nie ma możliwości, aby funkcja dawała wartości ujemne, co wyklucza ujemne liczby rzeczywiste spośród możliwych obrazów.

Uwarunkowanie domeny kodowej do przedziału. Unika się pozostawienia elementów domeny kodowej niezwiązanych z F.

Obrazy są powtarzane dla par elementów zmiennej niezależnej, takich jak x = 1 i x = - 1. Ale to wpływa tylko na iniekcyjność funkcji, nie stanowiąc problemu w tym badaniu.

W ten sposób można stwierdzić, że:

F: R → . Ten przedział musi warunkować kodomenę, aby osiągnąć suriektywność funkcji.

F: R → zdefiniowane przez F (x) = Sen (x) Jest to funkcja suriektywna

F: R → zdefiniowane przez F (x) = Cos (x) Jest to funkcja suriektywna

Ćwiczenie 4

• Przestudiuj funkcję

F :) .push ({});

Źródło: Autor

Funkcja F (x) = ± √x ma tę szczególną cechę , że definiuje 2 zmienne zależne przy każdej wartości „x”. Oznacza to, że zakres otrzymuje 2 elementy dla każdego utworzonego w domenie. Dla każdej wartości „x” należy zweryfikować dodatnią i ujemną wartość.

Obserwując zbiór początkowy, należy zauważyć, że dziedzina została już ograniczona, aby uniknąć nieokreśloności powstałych podczas obliczania liczby ujemnej w parzystym pierwiastku.

Podczas sprawdzania zakresu funkcji należy zauważyć, że każda wartość domeny kodowej należy do zakresu.

W ten sposób można stwierdzić, że:

F: [0, ∞ ) → R zdefiniowane przez F (x) = ± √x Jest to funkcja suriektywna

Ćwiczenie 4

• Zbadaj funkcję F (x) = Ln x oznacza, że ​​jest to funkcja suriektywna . Uwarunkuj zbiory przylotów i odlotów, aby dopasować funkcję do kryteriów suriektywności.

Źródło: Autor

Jak pokazano na wykresie, funkcja F (x) = Ln x jest zdefiniowana dla wartości „x” większych od zera. Podczas gdy wartości „i” lub obrazy mogą mieć dowolną realną wartość.

W ten sposób możemy ograniczyć dziedzinę F (x) = do przedziału (0, ∞ )

O ile zakres funkcji może być utrzymany jako zbiór liczb rzeczywistych R.

Biorąc to pod uwagę, można stwierdzić, że:

F: [0, ∞ ) → R określone przez F (x) = Ln x Jest to funkcja suriektywna

Ćwiczenie 5

• Zbadaj funkcję wartości bezwzględnej F (x) = - x - i wyznacz zbiory przylotów i odlotów, które spełniają kryteria suriektywności.

Źródło: Autor

Dziedzina funkcji jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych R. W ten sposób jedyne warunkowanie musi być przeprowadzone w kodomenie, biorąc pod uwagę, że funkcja wartości bezwzględnej przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Przystępujemy do ustalenia kodomeny funkcji równej jej rangi

[0, ∞ )

Teraz można stwierdzić, że:

F: [0, ∞ ) → R zdefiniowane przez F (x) = - x - Jest to funkcja suriektywna

Proponowane ćwiczenia

1. Sprawdź, czy następujące funkcje są surogatywne:

• F: (0, ∞ ) → R określone przez F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R zdefiniowane przez F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) zdefiniowane przez F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R określone przez F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R określone przez F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R określone przez F (x) = 1 / x

Bibliografia

1. Wprowadzenie do logiki i krytycznego myślenia. Merrilee H. Salmon. Uniwersytet w Pittsburghu
2. Problemy w analizie matematycznej. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Uniwersytet Wrocławski. Polska.
3. Elementy analizy abstrakcyjnej. Dr Mícheál O'Searcoid Katedra Matematyki. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych. Alfred Tarski, New York Oxford. Prasa Uniwersytetu Oksfordzkiego.
5. Zasady analizy matematycznej. Enrique Linés Escardó. Od redakcji Reverté S. A 1991. Barcelona Hiszpania.