FUNKCJE TRANSCENDENTNE: TYPY, DEFINICJA, WŁASNOŚCI, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Te elementarne funkcje transcendentalne są wykładnicza, logarytmiczna, trygonometrycznych, funkcji trygonometrycznych odwrotne, hiperboliczne i odwrotne funkcje hiperboliczne. Oznacza to, że są to takie, których nie można wyrazić za pomocą wielomianu, ilorazu wielomianów lub pierwiastków wielomianów.

Nieelementarne funkcje transcendentne są również znane jako funkcje specjalne, a wśród nich można nazwać funkcję błędu. Funkcje algebraiczne (wielomiany, ilorazy wielomianów i pierwiastki wielomianów) wraz z elementarnymi funkcjami transcendentalnymi tworzą to, co w matematyce nazywa się funkcjami elementarnymi.

Za funkcje transcendentne uważa się również te, które wynikają z operacji między funkcjami transcendentnymi lub między funkcjami transcendentnymi i algebraicznymi. Te operacje to: suma i różnica funkcji, iloczyn i iloraz funkcji, a także skład dwóch lub więcej funkcji.

Definicja i właściwości

Funkcja wykładnicza

Jest to rzeczywista funkcja rzeczywistej zmiennej niezależnej postaci:

f (x) = a ^ x = a ^x

gdzie a jest stałą dodatnią liczbą rzeczywistą (a> 0) nazywaną podstawą. Daszek lub indeks górny są używane do oznaczenia operacji wzmacniającej.

Powiedzmy, że a = 2, wtedy funkcja wygląda tak:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Które zostaną ocenione dla kilku wartości zmiennej niezależnej x:

Poniżej znajduje się wykres, na którym funkcja wykładnicza jest reprezentowana dla kilku wartości podstawy, w tym podstawy e (liczba Nepera e ≃ 2,72). Podstawa e jest tak ważna, że ​​mówiąc ogólnie o funkcji wykładniczej myślimy o e ^ x, która jest również oznaczana exp (x).

Rysunek 1. Funkcja wykładnicza a ^ x dla różnych wartości podstawy a. (Opracowanie własne)

Właściwości funkcji wykładniczej

Na rysunku 1 widać, że dziedziną funkcji wykładniczych są liczby rzeczywiste (Dom f = R ), a zakres lub ścieżka to dodatnie liczby rzeczywiste (Ran f = R ⁺ ).

Z drugiej strony, niezależnie od wartości podstawy a, wszystkie funkcje wykładnicze przechodzą przez punkt (0, 1) i przez punkt (1, a).

Gdy podstawa a> 1, to funkcja rośnie, a gdy 0 <a <1 funkcja maleje.

Krzywe y = a ^ x i y = (1 / a) ^ x są symetryczne względem osi Y.

Z wyjątkiem przypadku a = 1, funkcja wykładnicza jest iniekcyjna, to znaczy każdej wartości obrazu odpowiada jedna i tylko jedna wartość początkowa.

Funkcja logarytmiczna

Jest to rzeczywista funkcja rzeczywistej zmiennej niezależnej oparta na definicji logarytmu liczby. Logarytm oparty na liczbie x to liczba y, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Oznacza to, że funkcja logarytmu oparta na jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej opartej na.

Na przykład:

log ₂ 1 = 0, ponieważ 2 ^ 0 = 1

Inny przypadek, log ₂ 4 = 2, ponieważ 2 ^ 2 = 4

Logarytm pierwiastka 2 to log ₂ √2 = ½, ponieważ 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, ponieważ 2 ^ (- 2) = ¼

Poniżej znajduje się wykres funkcji logarytmicznej w różnych bazach.

Rysunek 2. Funkcja wykładnicza dla różnych wartości podstawy. (Opracowanie własne)

Własności funkcji logarytmicznej

Dziedziną funkcji logarytmicznej y (x) = log a (x) są dodatnie liczby rzeczywiste R + . Zakres podróży lub są liczbami rzeczywistymi R .

Niezależnie od podstawy funkcja logarytmiczna zawsze przechodzi przez punkt (1,0), a punkt (a, 1) należy do wykresu tej funkcji.

W przypadku, gdy podstawa a jest większa od jedności (a> 1), funkcja logarytmu rośnie. Ale jeśli (0 <a <1), to jest to funkcja malejąca.

Funkcje sinus, cosinus i styczna

Funkcja sinus przypisuje liczbę rzeczywistą i każdej wartości x, gdzie x reprezentuje miarę kąta w radianach. Aby otrzymać wartość Sen (x) kąta, kąt jest przedstawiony na okręgu jednostkowym, a rzut tego kąta na oś pionową jest sinusem odpowiadającym temu kątowi.

Okrąg trygonometryczny i sinus dla różnych wartości kątowych X1, X2, X3 i X4 pokazano poniżej (na rysunku 3).

Rysunek 3. Okrąg trygonometryczny i sinus pod różnymi kątami. (Opracowanie własne)

Zdefiniowana w ten sposób maksymalna wartość, jaką może mieć funkcja Sen (x), wynosi 1, co występuje, gdy x = π / 2 + 2π n, gdzie n jest liczbą całkowitą (0, ± 1, ± 2,). Minimalna wartość, jaką może przyjąć funkcja Sen (x), występuje, gdy x = 3π / 2 + 2π n.

Funkcja cosinus y = Cos (x) jest definiowana w podobny sposób, ale rzutowanie położeń kątowych P1, P2 itd. Odbywa się na poziomej osi koła trygonometrycznego.

Z drugiej strony funkcja y = Tan (x) jest ilorazem funkcji sinus i cosinus.

Poniżej znajduje się wykres funkcji transcendentnych Sen (x), Cos (x) i Tan (x)

Rysunek 4. Wykres funkcji transcendentnych, sinus, cosinus i styczna. (Opracowanie własne)

Pochodne i całki

Pochodna funkcji wykładniczej

Pochodna y 'funkcji wykładniczej y = a ^ x jest funkcją a ^ x pomnożoną przez logarytm naturalny podstawy a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

W szczególnym przypadku podstawy e pochodną funkcji wykładniczej jest sama funkcja wykładnicza.

Całka funkcji wykładniczej

Całka nieoznaczona a ^ x jest samą funkcją podzieloną przez logarytm naturalny podstawy.

W szczególnym przypadku podstawy e całka funkcji wykładniczej jest samą funkcją wykładniczą.

Tablica pochodnych i całek funkcji transcendentnych

Poniżej znajduje się tabela podsumowująca główne funkcje transcendentne, ich pochodne i całki nieoznaczone (funkcje pierwotne):

Tablica pochodnych i całek nieoznaczonych dla niektórych funkcji transcendentnych. (Opracowanie własne)

Przykłady

Przykład 1

Znajdź funkcję wynikającą ze złożenia funkcji f (x) = x ^ 3 z funkcją g (x) = cos (x):

(mgła) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Jego pochodna i całka nieoznaczona to:

Przykład 2

Znajdź skład funkcji g z funkcją f, gdzie g i f to funkcje zdefiniowane w poprzednim przykładzie:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Należy zauważyć, że skład funkcji nie jest operacją przemienną.

Pochodna i całka nieoznaczona dla tej funkcji to odpowiednio:

Całka została wskazana, ponieważ nie jest możliwe dokładne zapisanie wyniku jako kombinacji funkcji elementarnych.

Bibliografia

1. Rachunek pojedynczej zmiennej. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 listopada 2008
2. Twierdzenie o funkcjach niejawnych: historia, teoria i zastosowania. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 listopada. 2012
3. Analiza wielu zmiennych. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 grudnia. 2010
4. Dynamika systemu: modelowanie, symulacja i sterowanie systemami mechatronicznymi. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 marca 2012
5. Rachunek: matematyka i modelowanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 stycznia 1999
6. wikipedia. Funkcja transcendentna. Odzyskany z: es.wikipedia.com