- Definicja i właściwości
- Funkcja wykładnicza
- Właściwości funkcji wykładniczej
- Funkcja logarytmiczna
- Własności funkcji logarytmicznej
- Funkcje sinus, cosinus i styczna
- Pochodne i całki
- Pochodna funkcji wykładniczej
- Całka funkcji wykładniczej
- Tablica pochodnych i całek funkcji transcendentnych
- Przykłady
- Przykład 1
- Przykład 2
- Bibliografia
Te elementarne funkcje transcendentalne są wykładnicza, logarytmiczna, trygonometrycznych, funkcji trygonometrycznych odwrotne, hiperboliczne i odwrotne funkcje hiperboliczne. Oznacza to, że są to takie, których nie można wyrazić za pomocą wielomianu, ilorazu wielomianów lub pierwiastków wielomianów.
Nieelementarne funkcje transcendentne są również znane jako funkcje specjalne, a wśród nich można nazwać funkcję błędu. Funkcje algebraiczne (wielomiany, ilorazy wielomianów i pierwiastki wielomianów) wraz z elementarnymi funkcjami transcendentalnymi tworzą to, co w matematyce nazywa się funkcjami elementarnymi.

Za funkcje transcendentne uważa się również te, które wynikają z operacji między funkcjami transcendentnymi lub między funkcjami transcendentnymi i algebraicznymi. Te operacje to: suma i różnica funkcji, iloczyn i iloraz funkcji, a także skład dwóch lub więcej funkcji.
Definicja i właściwości
Funkcja wykładnicza
Jest to rzeczywista funkcja rzeczywistej zmiennej niezależnej postaci:
f (x) = a ^ x = a x
gdzie a jest stałą dodatnią liczbą rzeczywistą (a> 0) nazywaną podstawą. Daszek lub indeks górny są używane do oznaczenia operacji wzmacniającej.
Powiedzmy, że a = 2, wtedy funkcja wygląda tak:
f (x) = 2 ^ x = 2 x
Które zostaną ocenione dla kilku wartości zmiennej niezależnej x:

Poniżej znajduje się wykres, na którym funkcja wykładnicza jest reprezentowana dla kilku wartości podstawy, w tym podstawy e (liczba Nepera e ≃ 2,72). Podstawa e jest tak ważna, że mówiąc ogólnie o funkcji wykładniczej myślimy o e ^ x, która jest również oznaczana exp (x).

Rysunek 1. Funkcja wykładnicza a ^ x dla różnych wartości podstawy a. (Opracowanie własne)
Właściwości funkcji wykładniczej
Na rysunku 1 widać, że dziedziną funkcji wykładniczych są liczby rzeczywiste (Dom f = R ), a zakres lub ścieżka to dodatnie liczby rzeczywiste (Ran f = R + ).
Z drugiej strony, niezależnie od wartości podstawy a, wszystkie funkcje wykładnicze przechodzą przez punkt (0, 1) i przez punkt (1, a).
Gdy podstawa a> 1, to funkcja rośnie, a gdy 0 <a <1 funkcja maleje.
Krzywe y = a ^ x i y = (1 / a) ^ x są symetryczne względem osi Y.
Z wyjątkiem przypadku a = 1, funkcja wykładnicza jest iniekcyjna, to znaczy każdej wartości obrazu odpowiada jedna i tylko jedna wartość początkowa.
Funkcja logarytmiczna
Jest to rzeczywista funkcja rzeczywistej zmiennej niezależnej oparta na definicji logarytmu liczby. Logarytm oparty na liczbie x to liczba y, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument x:
log a (x) = y ⇔ a ^ y = x
Oznacza to, że funkcja logarytmu oparta na jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej opartej na.
Na przykład:
log 2 1 = 0, ponieważ 2 ^ 0 = 1
Inny przypadek, log 2 4 = 2, ponieważ 2 ^ 2 = 4
Logarytm pierwiastka 2 to log 2 √2 = ½, ponieważ 2 ^ ½ = √2
log 2 ¼ = -2, ponieważ 2 ^ (- 2) = ¼
Poniżej znajduje się wykres funkcji logarytmicznej w różnych bazach.

Rysunek 2. Funkcja wykładnicza dla różnych wartości podstawy. (Opracowanie własne)
Własności funkcji logarytmicznej
Dziedziną funkcji logarytmicznej y (x) = log a (x) są dodatnie liczby rzeczywiste R + . Zakres podróży lub są liczbami rzeczywistymi R .
Niezależnie od podstawy funkcja logarytmiczna zawsze przechodzi przez punkt (1,0), a punkt (a, 1) należy do wykresu tej funkcji.
W przypadku, gdy podstawa a jest większa od jedności (a> 1), funkcja logarytmu rośnie. Ale jeśli (0 <a <1), to jest to funkcja malejąca.
Funkcje sinus, cosinus i styczna
Funkcja sinus przypisuje liczbę rzeczywistą i każdej wartości x, gdzie x reprezentuje miarę kąta w radianach. Aby otrzymać wartość Sen (x) kąta, kąt jest przedstawiony na okręgu jednostkowym, a rzut tego kąta na oś pionową jest sinusem odpowiadającym temu kątowi.
Okrąg trygonometryczny i sinus dla różnych wartości kątowych X1, X2, X3 i X4 pokazano poniżej (na rysunku 3).

Rysunek 3. Okrąg trygonometryczny i sinus pod różnymi kątami. (Opracowanie własne)
Zdefiniowana w ten sposób maksymalna wartość, jaką może mieć funkcja Sen (x), wynosi 1, co występuje, gdy x = π / 2 + 2π n, gdzie n jest liczbą całkowitą (0, ± 1, ± 2,). Minimalna wartość, jaką może przyjąć funkcja Sen (x), występuje, gdy x = 3π / 2 + 2π n.
Funkcja cosinus y = Cos (x) jest definiowana w podobny sposób, ale rzutowanie położeń kątowych P1, P2 itd. Odbywa się na poziomej osi koła trygonometrycznego.
Z drugiej strony funkcja y = Tan (x) jest ilorazem funkcji sinus i cosinus.
Poniżej znajduje się wykres funkcji transcendentnych Sen (x), Cos (x) i Tan (x)

Rysunek 4. Wykres funkcji transcendentnych, sinus, cosinus i styczna. (Opracowanie własne)
Pochodne i całki
Pochodna funkcji wykładniczej
Pochodna y 'funkcji wykładniczej y = a ^ x jest funkcją a ^ x pomnożoną przez logarytm naturalny podstawy a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
W szczególnym przypadku podstawy e pochodną funkcji wykładniczej jest sama funkcja wykładnicza.
Całka funkcji wykładniczej
Całka nieoznaczona a ^ x jest samą funkcją podzieloną przez logarytm naturalny podstawy.
W szczególnym przypadku podstawy e całka funkcji wykładniczej jest samą funkcją wykładniczą.
Tablica pochodnych i całek funkcji transcendentnych
Poniżej znajduje się tabela podsumowująca główne funkcje transcendentne, ich pochodne i całki nieoznaczone (funkcje pierwotne):

Tablica pochodnych i całek nieoznaczonych dla niektórych funkcji transcendentnych. (Opracowanie własne)
Przykłady
Przykład 1
Znajdź funkcję wynikającą ze złożenia funkcji f (x) = x ^ 3 z funkcją g (x) = cos (x):
(mgła) (x) = f (g (x)) = cos 3 (x)
Jego pochodna i całka nieoznaczona to:

Przykład 2
Znajdź skład funkcji g z funkcją f, gdzie g i f to funkcje zdefiniowane w poprzednim przykładzie:
(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x 3 )
Należy zauważyć, że skład funkcji nie jest operacją przemienną.
Pochodna i całka nieoznaczona dla tej funkcji to odpowiednio:

Całka została wskazana, ponieważ nie jest możliwe dokładne zapisanie wyniku jako kombinacji funkcji elementarnych.
Bibliografia
- Rachunek pojedynczej zmiennej. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 listopada 2008
- Twierdzenie o funkcjach niejawnych: historia, teoria i zastosowania. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 listopada. 2012
- Analiza wielu zmiennych. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 grudnia. 2010
- Dynamika systemu: modelowanie, symulacja i sterowanie systemami mechatronicznymi. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 marca 2012
- Rachunek: matematyka i modelowanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 stycznia 1999
- wikipedia. Funkcja transcendentna. Odzyskany z: es.wikipedia.com
