- Przykłady
- Zalety logarytmów
- Przykład
- Odpowiadać
- Ćwiczenie aplikacyjne: skala Richtera
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Funkcja logarytmiczna to matematyczna zależność, która wiąże każdą dodatnią liczbę rzeczywistą x z jej logarytmem y na podstawie a. Ta relacja spełnia wymagania funkcji: każdy element x należący do domeny ma unikalny obraz.
A zatem:
Ponieważ logarytm oparty na liczbie x jest liczbą y, do której należy podnieść podstawę a, aby uzyskać x.
-Logarytm podstawy wynosi zawsze 1. Zatem wykres f (x) = log a x zawsze przecina oś x w punkcie (1,0)
-Funkcja logarytmiczna jest transcendentna i nie może być wyrażona jako wielomian ani jako iloraz. Oprócz logarytmu grupa ta obejmuje m.in. funkcje trygonometryczne i wykładnicze.
Przykłady
Funkcję logarytmiczną można ustalić na podstawie różnych podstaw, ale najczęściej używane są 10 ie, gdzie e jest liczbą Eulera równą 2,71828….
Gdy używana jest podstawa 10, logarytm nazywa się logarytmem dziesiętnym, logarytmem zwykłym, logarytmem Briggsa lub zwykłym logarytmem.
A jeśli użyjemy liczby e, to nazywamy ją logarytmem naturalnym, na cześć Johna Napiera, szkockiego matematyka, który odkrył logarytmy.
Notacja używana dla każdego z nich jest następująca:
-Logarytm dziesiętny: log 10 x = log x
-Logarytm neperian: ln x
Jeśli zamierzasz użyć innej bazy, absolutnie konieczne jest wskazanie jej jako indeksu dolnego, ponieważ logarytm każdej liczby różni się w zależności od używanej podstawy. Na przykład, jeśli jest to logarytm o podstawie 2, napisz:
y = log 2 x
Spójrzmy na logarytm liczby 10 w trzech różnych podstawach, aby zilustrować ten punkt:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Typowe kalkulatory podają tylko logarytmy dziesiętne (funkcja log) i logarytm naturalny (funkcja ln). W Internecie dostępne są kalkulatory z innymi bazami. W każdym razie czytelnik może za jego pomocą zweryfikować, czy poprzednie wartości są spełnione:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10 0001
2 3,32193 = 10,0000
Niewielkie różnice dziesiętne wynikają z liczby miejsc dziesiętnych branych do obliczenia logarytmu.
Zalety logarytmów
Jedną z zalet korzystania z logarytmów jest łatwość, jaką zapewniają one przy pracy z dużymi liczbami, używając ich logarytmu zamiast bezpośrednio liczby.
Jest to możliwe, ponieważ funkcja logarytmu rośnie wolniej, gdy liczby stają się większe, jak widać na wykresie.
Dlatego nawet przy bardzo dużych liczbach ich logarytmy są znacznie mniejsze, a manipulowanie małymi liczbami jest zawsze łatwiejsze.
Ponadto logarytmy mają następujące właściwości:
- Iloczyn : log (ab) = log a + log b
- Iloraz : log (a / b) = log a - log b
- Zasilanie : log a b = b.log a
W ten sposób iloczyn i iloraz staje się dodawaniem i odejmowaniem mniejszych liczb, podczas gdy wzmocnienie staje się prostym produktem, mimo że moc jest duża.
Dlatego logarytmy pozwalają nam wyrazić liczby zmieniające się w bardzo dużych zakresach wartości, takich jak natężenie dźwięku, pH roztworu, jasność gwiazd, opór elektryczny i intensywność trzęsień ziemi w skali Richtera.
Rysunek 2. Logarytmy są używane w skali Richtera do ilościowego określania wielkości trzęsień ziemi. Zdjęcie przedstawia zawalony budynek w Concepción w Chile podczas trzęsienia ziemi w 2010 r. Źródło: Wikimedia Commons.
Zobaczmy przykład obsługi właściwości logarytmów:
Przykład
Znajdź wartość x w następującym wyrażeniu:
Odpowiadać
Mamy tutaj równanie logarytmiczne, ponieważ nieznane jest w argumencie logarytmu. Rozwiązuje się go, pozostawiając pojedynczy logarytm po każdej stronie równości.
Zaczynamy od umieszczenia wszystkich haseł zawierających „x” po lewej stronie równości, a tych, które zawierają tylko liczby po prawej:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Po lewej stronie mamy odjęcie dwóch logarytmów, które można zapisać jako logarytm z ilorazu:
log = 1
Jednak po prawej stronie znajduje się liczba 1, którą możemy wyrazić jako log 10, jak widzieliśmy wcześniej. Więc:
log = log 10
Aby równość była prawdziwa, argumenty logarytmów muszą być równe:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Ćwiczenie aplikacyjne: skala Richtera
W 1957 roku w Meksyku wystąpiło trzęsienie ziemi o sile 7,7 stopnia w skali Richtera. W 1960 roku w Chile miało miejsce kolejne trzęsienie ziemi o większej sile, wynoszące 9,5.
Oblicz, ile razy trzęsienie ziemi w Chile było bardziej intensywne niż w Meksyku, wiedząc, że wielkość M R w skali Richtera jest określona wzorem:
M R = log (10 4 I)
Rozwiązanie
Wielkość trzęsienia ziemi w skali Richtera jest funkcją logarytmiczną. Zamierzamy obliczyć intensywność każdego trzęsienia ziemi, ponieważ mamy wielkości Richtera. Zróbmy to krok po kroku:
- Meksyk : 7,7 = log (10 4 I)
Ponieważ odwrotność funkcji logarytmicznej jest wykładnicza, stosujemy to do obu stron równości z zamiarem rozwiązania dla I, co znajduje się w argumencie logarytmu.
Ponieważ są to logarytmy dziesiętne, podstawa wynosi 10. Następnie:
10 7,7 = 10 4 I.
Intensywność trzęsienia ziemi w Meksyku była:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile : 9,5 = log (10 4 I)
Ta sama procedura prowadzi nas do intensywności chilijskiego trzęsienia ziemi I Ch :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Teraz możemy porównać obie intensywności:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Ja M
Trzęsienie ziemi w Chile było około 63 razy intensywniejsze niż w Meksyku. Ponieważ wielkość jest logarytmiczna, rośnie wolniej niż intensywność, więc różnica 1 w wielkości oznacza 10 razy większą amplitudę fali sejsmicznej.
Różnica między wielkościami obu trzęsień ziemi wynosi 1,8, dlatego możemy spodziewać się różnicy intensywności bliższej 100 niż 10, tak jak to się faktycznie stało.
W rzeczywistości, gdyby różnica wynosiła dokładnie 2, trzęsienie ziemi w Chile byłoby 100 razy silniejsze niż w Meksyku.
Bibliografia
- Carena, M. 2019. Przeduniwersytecki podręcznik matematyczny. National University of the Litoral.
- Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Zróżnicowany rok. Edycje CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Obliczanie zmiennej. 9. Wydanie. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Wydanie. Cengage Learning.