FUNKCJA INIEKCYJNA: CZYM JEST, DO CZEGO SŁUŻY I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Funkcja iniekcyjna to dowolna relacja elementów domeny z pojedynczym elementem kodomeny. Znane również jako funkcja jeden do jednego ( 1 - 1 ), są częścią klasyfikacji funkcji ze względu na sposób, w jaki ich elementy są powiązane.

Elementem domeny kodowej może być tylko obraz pojedynczego elementu domeny, w ten sposób wartości zmiennej zależnej nie mogą się powtarzać.

Źródło: Autor.

Dobrym przykładem może być pogrupowanie mężczyzn na stanowiskach w grupie A, aw grupie B wszystkich szefów. Funkcja F będzie tą, która kojarzy każdego pracownika z jego szefem. Jeśli każdy pracownik jest powiązany z innym szefem poprzez F , wówczas F będzie funkcją iniekcyjną .

Aby rozważyć funkcję iniekcyjną , należy spełnić następujące warunki:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

To jest algebraiczny sposób powiedzenia: Dla każdego x ₁ różnego od x ₂ mamy F (x ₁ ) różny od F (x ₂ ).

Do czego służą funkcje wtrysku?

Iniektywność jest właściwością funkcji ciągłych, ponieważ zapewniają one przypisanie obrazów do każdego elementu domeny, co jest istotnym aspektem ciągłości funkcji.

Rysując linię równoległą do osi X na wykresie funkcji iniekcyjnej, wykres należy dotykać tylko w jednym punkcie, bez względu na wysokość lub wielkość Y linia jest rysowana. Jest to graficzny sposób testowania wstrzykiwalności funkcji.

Innym sposobem sprawdzenia, czy funkcja jest iniekcyjna, jest rozwiązanie zmiennej niezależnej X w odniesieniu do zmiennej zależnej Y. Następnie należy sprawdzić, czy dziedzina tego nowego wyrażenia zawiera liczby rzeczywiste, w tym samym czasie, co dla każdej wartości Y istnieje pojedyncza wartość X.

Funkcje lub relacje porządkowe są zgodne między innymi z notacją F: D _f → C _f

To, co czyta się F, które przechodzi od D _f do C _f

Gdzie funkcja F odnosi się do zbiorów Domain i Codomain. Nazywany również zestawem początkowym i zestawem końcowym.

Domena D _f zawiera dozwolone wartości dla zmiennej niezależnej. Domena kodowa C _f składa się ze wszystkich wartości dostępnych dla zmiennej zależnej. Elementy C _f związane z D _f są znane jako zakres funkcji (R _f ).

Uwarunkowanie funkcji

Czasami funkcja, która nie jest iniekcyjna, może podlegać pewnym warunkom. Te nowe warunki mogą sprawić, że będzie to funkcja iniekcyjna. Wszystkie rodzaje modyfikacji domeny i kodomeny funkcji są ważne, gdy celem jest spełnienie właściwości iniekcyjności w odpowiedniej relacji.

Przykłady funkcji wtrysku z rozwiązanymi ćwiczeniami

Przykład 1

Niech funkcja F: R → R będzie zdefiniowana przez linię F (x) = 2x - 3

ZA:

Źródło: Autor.

Zauważono, że dla każdej wartości domeny istnieje obraz w kodomenie. Ten obraz jest wyjątkowy, co sprawia, że ​​F jest funkcją iniekcyjną. Dotyczy to wszystkich funkcji liniowych (funkcji, których najwyższy stopień zmiennej wynosi jeden).

Źródło: Autor.

Przykład 2

Niech funkcja F: R → R będzie zdefiniowana przez F (x) = x ² +1

Źródło: Autor

Podczas rysowania poziomej linii obserwuje się, że wykres znajduje się więcej niż jeden raz. Z tego powodu funkcja F nie jest iniekcyjna, o ile zdefiniowano R → R

Przystępujemy do warunkowania domeny funkcji:

F: R ⁺ U {0} → R

Źródło: Autor

Teraz zmienna niezależna nie przyjmuje wartości ujemnych, w ten sposób unika się powtarzania wyników, a funkcja F: R ⁺ U {0} → R zdefiniowana przez F (x) = x ² + 1 jest iniekcyjna .

Innym rozwiązaniem homologicznym byłoby ograniczenie domeny w lewo, to znaczy ograniczenie funkcji do przyjmowania tylko wartości ujemnych i zerowych.

Przystępujemy do warunkowania domeny funkcji

F: R ^- U {0} → R

Źródło: Autor

Teraz zmienna niezależna nie przyjmuje wartości ujemnych, w ten sposób unika się powtarzania wyników, a funkcja F: R ^- U {0} → R zdefiniowana przez F (x) = x ² + 1 jest iniekcyjna .

Funkcje trygonometryczne mają zachowania podobne do fal, w których bardzo często można znaleźć powtórzenia wartości w zmiennej zależnej. Poprzez specyficzne uwarunkowania, oparte na wcześniejszej wiedzy o tych funkcjach, możemy zawęzić dziedzinę, aby spełnić warunki iniekcji.

Przykład 3

Niech funkcja F: → R będzie zdefiniowana przez F (x) = Cos (x)

W przedziale funkcja cosinus zmienia swoje wyniki od zera do jedynki.

Źródło: Autor.

Jak widać na wykresie. Zaczyna się od zera przy x = - π / 2, a następnie osiąga maksimum w zera. Po x = 0 wartości zaczynają się powtarzać, aż powrócą do zera przy x = π / 2. W ten sposób wiadomo, że F (x) = Cos (x) nie jest iniekcyjne w okresie.

Podczas badania wykresu funkcji F (x) = Cos (x) obserwuje się przedziały, w których zachowanie krzywej dostosowuje się do kryteriów wtrysku. Takich jak interwał

Gdy funkcja zmienia się, daje wynik od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej.

W ten sposób funkcja F: → R zdefiniowana przez F (x) = Cos (x). To jest iniekcyjne

Istnieją funkcje nieliniowe, w których występują podobne przypadki. W przypadku wyrażeń typu wymiernego, w których mianownik zawiera co najmniej jedną zmienną, istnieją ograniczenia, które uniemożliwiają iniekcyjność relacji.

Przykład 4

Niech funkcja F: R → R będzie określona wzorem F (x) = 10 / x

Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem {0}, który ma nieokreśloność (nie można jej podzielić przez zero) .

Gdy zmienna zależna zbliża się do zera od lewej, przyjmuje bardzo duże wartości ujemne, a bezpośrednio po zera wartości zmiennej zależnej przyjmują duże liczby dodatnie.

To zakłócenie sprawia, że ​​wyrażenie F: R → R zdefiniowane przez F (x) = 10 / x

Nie wstrzykuj.

Jak widać w poprzednich przykładach, wykluczenie wartości w domenie służy do „naprawy” tych nieokreśloności. Przechodzimy do wykluczenia zera z domeny, pozostawiając zbiory początkowe i końcowe zdefiniowane w następujący sposób:

R - {0} → R

Gdzie R - {0} symbolizuje liczby rzeczywiste z wyjątkiem zbioru, którego jedynym elementem jest zero.

W ten sposób wyrażenie F: R - {0} → R zdefiniowane przez F (x) = 10 / x jest iniekcyjne.

Przykład 5

Niech funkcja F: → R będzie zdefiniowana przez F (x) = Sen (x)

W przedziale funkcja sinus zmienia swoje wyniki od zera do jedynki.

Źródło: Autor.

Jak widać na wykresie. Zaczyna się od zera przy x = 0, a następnie osiąga maksimum przy x = π / 2. Po x = π / 2 wartości zaczynają się powtarzać, aż powrócą do zera przy x = π. W ten sposób wiadomo, że F (x) = Sen (x) nie jest iniekcyjna dla interwału.

Podczas badania wykresu funkcji F (x) = Sen (x) obserwuje się przedziały, w których zachowanie się krzywej dostosowuje się do kryteriów wstrzykiwania. Takich jak interwał

Gdy funkcja zmienia się, daje wynik od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej.

W ten sposób funkcja F: → R określona przez F (x) = Sen (x). To jest iniekcyjne

Przykład 6

Sprawdź, czy funkcja F: → R zdefiniowana przez F (x) = Tan (x)

F: → R określone przez F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 7x + 2

Bibliografia

1. Wprowadzenie do logiki i krytycznego myślenia. Merrilee H. Salmon. Uniwersytet w Pittsburghu
2. Problemy w analizie matematycznej. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Uniwersytet Wrocławski. Polska.
3. Elementy analizy abstrakcyjnej. Dr Mícheál O'Searcoid Katedra Matematyki. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych. Alfred Tarski, New York Oxford. Prasa Uniwersytetu Oksfordzkiego.
5. Zasady analizy matematycznej. Enrique Linés Escardó. Od redakcji Reverté S. A 1991. Barcelona Hiszpania.