- Historia
- Ile jest warta liczba e?
- Reprezentacje liczby e
- Liczba e jako limit
- Liczba e jako suma
- Liczba e z geometrycznego punktu widzenia
- Własności liczby e
- Aplikacje
- Statystyka
- Inżynieria
- biologia
- Fizyczny
- Gospodarka
- Bibliografia
Liczba Eulera lub liczba e jest dobrze znaną stałą matematyczną, która często pojawia się w wielu zastosowaniach naukowych i ekonomicznych, wraz z liczbą π i innymi ważnymi liczbami w matematyce.
Kalkulator naukowy zwraca następującą wartość liczby e:
Rysunek 1. Liczba Eulera często pojawia się w Science. Źródło: F. Zapata.
e = 2,718281828 …
Ale znanych jest o wiele więcej miejsc po przecinku, na przykład:
e = 2,71828182845904523536…
Współczesne komputery znalazły biliony miejsc po przecinku dla liczby e.
Jest to liczba niewymierna, co oznacza, że ma nieskończoną liczbę miejsc po przecinku bez powtarzającego się wzoru (ciąg 1828 pojawia się na początku dwukrotnie i już się nie powtarza).
Oznacza to również, że liczby e nie można otrzymać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Historia
Liczbę e zidentyfikował naukowiec Jacques Bernoulli w 1683 r., Kiedy badał problem procentu składanego, ale wcześniej pojawiła się pośrednio w pracach szkockiego matematyka Johna Napiera, który wynalazł logarytmy około 1618 r.
Jednak to Leonhard Euler w 1727 roku nadał mu nazwę e i intensywnie badał jego właściwości. Dlatego jest również znany jako liczba Eulera, a także jako naturalna podstawa obecnie używanych logarytmów naturalnych (wykładnika).
Ile jest warta liczba e?
Liczba e jest warta:
e = 2,71828182845904523536…
Wielokropek oznacza, że istnieje nieskończona liczba miejsc po przecinku, aw dzisiejszych komputerach znane są ich miliony.
Reprezentacje liczby e
Istnieje kilka sposobów zdefiniowania e, które opisujemy poniżej:
Liczba e jako limit
Jednym z różnych sposobów wyrażania liczby e jest ten, który naukowiec Bernoulli znalazł w swoich pracach na temat procentu składanego:
W którym wartość n musi być bardzo duża.
Łatwo jest sprawdzić za pomocą kalkulatora, że gdy n jest bardzo duże, poprzednie wyrażenie zmierza do wartości e podanej powyżej.
Oczywiście możemy zadać sobie pytanie, jak duże można zrobić n, więc spróbujmy okrągłych liczb, takich jak te na przykład:
n = 1000; 10 000 lub 100 000
W pierwszym przypadku otrzymujemy e = 2,7169239…. W drugim e = 2,7181459… aw trzecim jest znacznie bliższe wartości e: 2,7182682. Już teraz możemy sobie wyobrazić, że przy n = 1 000 000 lub większym przybliżenie będzie jeszcze lepsze.
W języku matematycznym procedura przybliżania n coraz bardziej do bardzo dużej wartości nazywana jest granicą nieskończoności i jest oznaczona następująco:
Do oznaczenia nieskończoności używany jest symbol „∞”.
Liczba e jako suma
Możliwe jest również zdefiniowanie liczby e za pomocą tej operacji:
Liczby, które pojawiają się w mianowniku: 1, 2, 6, 24, 120… odpowiadają operacji n!, Gdzie:
I z definicji 0! = 1.
Łatwo jest sprawdzić, że im więcej dodanych dodatków, tym dokładniej osiągnięta jest liczba e.
Zróbmy kilka testów z kalkulatorem, dodając coraz więcej dodatków:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Im więcej terminów dodanych do sumy, tym bardziej wynik przypomina e.
Matematycy opracowali zwarty zapis tych sum obejmujący wiele terminów, używając symbolu sumowania Σ:
To wyrażenie jest czytane w ten sposób, że "suma od n = 0 do nieskończoności 1 między n silnia".
Liczba e z geometrycznego punktu widzenia
Liczba e ma graficzną reprezentację związaną z obszarem pod wykresem krzywej:
y = 1 / x
Gdy wartości x mieszczą się w przedziale od 1 do e, obszar ten jest równy 1, jak pokazano na poniższym rysunku:
Rysunek 2. Graficzne przedstawienie liczby e: obszar pod krzywą 1 / x między x = 1 a x = e jest wart 1. Źródło: F. Zapata.
Własności liczby e
Niektóre właściwości liczby e to:
-Jest irracjonalny, innymi słowy, nie można go uzyskać po prostu przez podzielenie dwóch liczb całkowitych.
-Liczba e jest również liczbą transcendentną, co oznacza, że e nie jest rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego.
-Jest powiązany z czterema innymi słynnymi liczbami z dziedziny matematyki, a mianowicie: π, i, 1 i 0, poprzez tożsamość Eulera:
-Tzw. Liczby zespolone można wyrazić przez e.
- Stanowi podstawę naturalnych lub naturalnych logarytmów współczesności (oryginalna definicja Johna Napiera nieco się różni).
-Jest to jedyna liczba, której logarytm naturalny jest równy 1, czyli:
Aplikacje
Statystyka
Liczba e pojawia się bardzo często w dziedzinie prawdopodobieństwa i statystyki, występując w różnych rozkładach, takich jak normalny lub Gaussa, Poissona i inne.
Inżynieria
W inżynierii jest to częste, ponieważ funkcja wykładnicza y = e x występuje na przykład w mechanice i elektromagnetyzmie. Wśród wielu aplikacji możemy wymienić:
-Kabel lub łańcuch, który wisi na końcach, przyjmuje kształt krzywej określony przez:
y = (e x + e -x ) / 2
-Początkowo rozładowany kondensator C, który jest połączony szeregowo z rezystorem R i źródłem napięcia V w celu naładowania, uzyskuje pewien ładunek Q w funkcji czasu t, określonego przez:
Q (t) = CV (1-e -t / RC )
biologia
Funkcja wykładnicza y = Ae Bx , ze stałymi A i B, służy do modelowania wzrostu komórek i bakterii.
Fizyczny
W fizyce jądrowej rozpad promieniotwórczy i określanie wieku są modelowane za pomocą datowania radiowęglowego.
Gospodarka
Przy obliczaniu odsetek składanych liczba e pojawia się w sposób naturalny.
Załóżmy, że masz pewną kwotę pieniędzy PO do zainwestowania przy stopie procentowej wynoszącej i% rocznie.
Jeśli zostawisz pieniądze na 1 rok, po tym czasie będziesz mieć:
Po kolejnym roku bez dotykania będziesz mieć:
I kontynuując w ten sposób przez n lat:
Zapamiętajmy teraz jedną z definicji e:
Wygląda trochę jak wyrażenie na P, więc musi istnieć związek.
Nominalną stopę procentową zamierzamy rozłożyć na n okresów, w ten sposób składana stopa procentowa będzie wynosić i / n:
To wyrażenie wygląda trochę bardziej jak nasz limit, ale nadal nie jest dokładnie takie samo.
Jednak po kilku operacjach algebraicznych można wykazać, że dokonując tej zmiany zmiennej:
Nasze pieniądze P stają się:
A to, co znajduje się między nawiasami klamrowymi, nawet jeśli jest napisane literą h, jest równe argumentowi granicy, która określa liczbę e, pomijając tylko granicę.
Zróbmy h → ∞, a to, co jest między nawiasami klamrowymi, stanie się liczbą e. Nie oznacza to, że musimy czekać nieskończenie długo na wypłatę pieniędzy.
Jeśli przyjrzymy się bliżej, wykonując h = n / i i dążąc do ∞, to, co faktycznie zrobiliśmy, to rozłożenie stopy procentowej na bardzo, bardzo krótkie okresy:
i = n / h
Nazywa się to ciągłym mieszaniem. W takim przypadku kwotę pieniędzy można łatwo obliczyć w następujący sposób:
Gdzie ja jest roczną stopą procentową. Na przykład, wpłacając 12 € po 9% rocznie, poprzez ciągłą kapitalizację, po roku masz:
Z zyskiem w wysokości 1,13 €.
Bibliografia
- Ciesz się matematyką. Odsetki złożone: skład okresowy. Odzyskany z: enjoylasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Urozmaicony. Edycje CO-BO.
- García, M. Liczba e w rachunku elementarnym. Odzyskany z: matematica.ciens.ucv.ve.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Obliczanie zmiennej. 9. Wydanie. McGraw Hill.